定積分的應用習題課

1、,定積分的應用習題課,微 元 法,理 論 依 據,名稱釋譯,所求量的特點,解 題 步 驟,定積分應用中的常用公式,,,,,,一、主要內容,1、理論依據,,2、名稱釋譯,,3、所求量的特點,,4、解題步驟,,5、定積分應用的常用公式,(1) 平面圖形的面積,,,,,直角坐標情形,,,,如果曲邊梯形的曲邊為參數方程,曲邊梯形的面積,參數方程所表示的函數,,極坐標情形,,(2) 體積,,,,,,平行截面面積為已知的立體的體積,,,

2、,,(3) 平面曲線的弧長,,,弧長,A．曲線弧為,弧長,B．曲線弧為,,C．曲線弧為,弧長,(4) 旋轉體的側面積,,,,,(5) 細棒的質量,,,,(6) 轉動慣量,,(7) 變力所作的功,(8) 水壓力,,(9) 引力,(10) 函數的平均值,(11) 均方根,,二、典型例題,例1,解,由對稱性,有,由對稱性,有,由對稱性,有,例2,解,如圖所示建立坐標系.,于是對半圓上任一點,有,故所求速度為,故將滿池水全部提

3、升到池沿高度所需功為,例3: 如圖, 平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角? , 計算這平面截圓柱體所得立體的體積.,解: 取x為積分變量, 變化區(qū)間為[?R, R], 在[?R, R] 上任取一點x, 過x作垂直于x軸的平面截立體, 截面的面積,解:,例5 用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多

4、少？,設 次擊入的總深度為 厘米,次錘擊所作的總功為,設木板對鐵釘的阻力為,第一次錘擊時所作的功為,解,次擊入的總深度為,第 次擊入的深度為,依題意知，每次錘擊所作的功相等．,例,6,,有一長度為,l,、線密度為,r,的均勻細棒，,在其中垂線上距棒,a,單位處有一質量為,m,的質點,M,，計算該棒對質點,M,的引力．,,,小段的質量為,將典型小段近似看成質點,建立坐標系如圖,解,小段與質點的距離為,由對稱性知，引力在鉛直方向分