概率論課件-第1章第1講事件與概率

1、§4.3 中心極限定理§4.4 中心極限定理(續(xù)),1. 中心極限定理的概念,在一定條件下,許多隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布:“若一個(gè)隨機(jī)變量可以看作許多微小而獨(dú)立的隨機(jī)因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小,都有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用,則這個(gè)隨機(jī)變量一般都可以認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布.”,例如對(duì)某物的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量,在測(cè)量時(shí)有許多隨機(jī)因素影響測(cè)量的結(jié)果.如溫度和濕度等因素對(duì)測(cè)量?jī)x器的影響,使測(cè)量產(chǎn)生誤差 ;

2、測(cè)量者觀(guān)察時(shí)視線(xiàn)所產(chǎn)生的誤差子力學(xué) ;測(cè)量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測(cè)量誤差 ;…顯然這些誤差是微小的、隨機(jī)的,而且相互沒(méi)有影響.測(cè)量的總誤差是上述各個(gè)因素產(chǎn)生的誤差之和,即,自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn). 觀(guān)察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,一般地,在研究許

3、多隨機(jī)因素產(chǎn)生的總影響時(shí),很多可以歸結(jié)為研究相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的分布問(wèn)題,而通常這種和的項(xiàng)數(shù)都很大.因此,需要構(gòu)造一個(gè)項(xiàng)數(shù)越來(lái)越多的隨機(jī)變量和的序列:,我們關(guān)心的是當(dāng)n→∞時(shí),隨機(jī)變量和的極限分布是什么?,由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，因此直接研究隨機(jī)變量之和的極限分布不方便,故先將其標(biāo)準(zhǔn)化為:,再來(lái)研究上面隨機(jī)變量序列的極限分布.,若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,有,定義：設(shè){ }為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,令,則

4、稱(chēng)隨機(jī)變量序列{ }服從中心極限定理.,2.獨(dú)立同分布的中心極限定理,定理[林德貝爾格-勒維(Lindeberg-Levy)定理] :設(shè){ }為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且具有數(shù)學(xué)期望 ,則隨機(jī)變量,的分布函數(shù)Fn(x),對(duì)于任意x,滿(mǎn)足,證明:,例1: 將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？,解:,由中心極限定理,解：,特殊情形,注: 此為林德貝爾格-勒維定理的特殊情況.,

5、De Moivre--Laplace,,定理(德莫佛-拉普拉斯極限定理):設(shè)隨機(jī)變量 n服從二項(xiàng)分布 則對(duì)于任意x,恒有,由獨(dú)立同分布的中心極限定理得,解：,在前面介紹的中心極限定理中,不僅要求隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立,而且要求它們同分布.而實(shí)際問(wèn)題中的許多隨機(jī)變量序列,說(shuō)其具有獨(dú)立性是合理的,但很難滿(mǎn)足同分布的要求.為了解決此問(wèn)題,引入下面的林德貝爾格條件:,§4.4 中心極限定理(續(xù))(獨(dú)立不同分布下的中心

6、極限定理),(1)若{ }是連續(xù)型隨機(jī)變量序列,密度函數(shù)列為{pk (x)},如果對(duì)任意的τ>0,有,定義:設(shè){ }為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且具有數(shù)學(xué)期望和方差 記,(2)若{ }是離散型隨機(jī)變量序列, 的分布列為,則稱(chēng){ }滿(mǎn)足林德貝爾格條件.,如果對(duì)任意的τ>0,有,注:由林德貝爾格定理可以推出林德貝爾格-勒維定理,定

7、理(林德貝爾格定理): 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列{ }滿(mǎn)足林德貝爾格條件,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有,設(shè){ }為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且具有數(shù)學(xué)期望E( )=μ和方差D( )=σ2 ,若 為連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為pk(x)=p(x),則,,若存在δ>0,使得,定理(李雅普諾夫定理):設(shè){ }為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且具有數(shù)學(xué)期望和方差 記,則對(duì)任意的

8、實(shí)數(shù)x有,證明: 只需驗(yàn)證{ }滿(mǎn)足林德貝爾格條件.仍設(shè) 為連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為pk(x),則有,解：,例5:利用中心極限定理證明：,證：設(shè) 是獨(dú)立同分布隨即變量序列，共同分布為的Poisson分布，故,由林德貝爾格－勒維中心極限定理知,,,,,,,,由普哇松分布的可加性知 是參數(shù)為的普哇松分布，因而,小結(jié):1.中心極限定理的定義；2.幾個(gè)中心極限定理：德莫佛-拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極