第04章概率隨機變量

1、1第4章概率隨機試驗：對隨機現(xiàn)象的客觀觀測。隨機試驗具有（1）可重復性；（2）可觀測性；（3）隨機性。樣本空間：隨機試驗的所有結(jié)果的集合稱作樣本空間。概率的統(tǒng)計定義：在不變的一組條件下，重復進行n次試驗。當n充分大時，若事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某個常數(shù)p附近擺動，且一般來說，n越大，擺動幅度越小，則稱常數(shù)p為事件A的概率，記為P(A)=p。（如，投硬幣，求正面朝上的概率。）0200400600800100000.20.40.60.81模

2、擬投硬幣1000次，正面朝上次數(shù)占總次數(shù)比率隨時間變化的序列圖概率的古典定義：若A1A2…An構(gòu)成一個等可能完備事件組，而事件B是由其中m個基本事件構(gòu)成，則事件B的概率用下式表示。P(B)=mn（投色子中求某個點的概率。）客觀概率：由可重復試驗定義的概率為客觀概率。（如投硬幣時，正面朝上的概率，某次火車晚點的概率，某校學生每年通過英語4級的概率，某段公路上車輛發(fā)生交通事故的概率等。）概率的統(tǒng)計定義和古典定義都指的是客觀概率。主觀概率：是

3、對概率的主觀解釋。常用于不可重復試驗的事件。（某學生來年能考上大學的概率，某市某天下雨的概率。）相互獨立：若兩個事件積的概率等于這兩個事件概率的積，即P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A，B相互獨立。（例A、B表示兩粒麥種各自發(fā)芽的概率。顯然A、B相互獨立，且相容。）互不相容：若事件A，B不能同時發(fā)生則稱事件A，B為互不相容事件。（投色子中“1點”和“2點”是互不相容事件。但“1點”和“奇數(shù)點”是相容事件。）注意：“相互獨立”和“互不

4、相容”是兩個不同的概念，不要混淆。互不相容事件一般不是相互獨立事件。因為對于兩個相互獨立事件A，B，有P(A)0，P(B)0。則P(AB)=P(A)P(B)0。當A，B為互不相容事件時，必有P(AB)=0，不能滿足相互獨立的條件。見61頁例1。條件概率：在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱作事件B在給定事件A下的條件概率。表示為P(B|A)。3Pa?x?b=?badxxf)(則稱x為連續(xù)型隨機變量。f(x)為x的概率密度函數(shù)（簡

5、稱概率密度或密度）。由上式知f(x)在[ab]區(qū)間上的積分等于隨機變量x在[ab]區(qū)間取值的概率。研究經(jīng)濟問題為什么還要學習隨機變量？因為許多經(jīng)濟問題都符合隨機變量的要求。通過隨機變量把經(jīng)濟問題上升到統(tǒng)計理論高度進行研究，有利于找到經(jīng)濟變量變化的一般規(guī)律。（例：勾三股四弦五。周朝的商高發(fā)現(xiàn)了勾股定理。）5.1隨機變量的數(shù)學期望對于離散型隨機變量x，若有概率分布Px=xi=pi(i=12…)則稱xipi?i為x的數(shù)學期望，簡稱為期望或均值

6、。記作E(x)。對于連續(xù)型隨機變量x，若密度函數(shù)為f(x)，則稱?badxxxf)(為x的數(shù)學期望。記作E(x)。期望屬于位置特征。用來描述隨機變量取值的集中位置。體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小。期望就是隨機變量取一切可能值的加權(quán)平均。其中的權(quán)數(shù)就是概率值。數(shù)學期望的性質(zhì)如下：(1)常量的期望就是這個常量本身。E(k)=k(2)常量與隨機變量和的期望等于這個隨機變量的期望與這個常量的和。E(xk)=E(x)k(3)常量與隨機變量乘積的期望

7、等于這個常量與隨機變量期望的乘積。E(kx)=kE(x)(4)隨機變量的線性函數(shù)的期望等于這個隨機變量期望的同一線性函數(shù)。E(kxc)=kE(x)c(5)兩個隨機變量和（或差）的期望等于這兩個隨機變量期望的和（或差）。E(x?y)=E(x)?E(y)(6)兩個相互獨立隨機變量乘積的期望等于這兩個隨機變量期望的乘積。E(xy)=E(x)E(y)5.2隨機變量的方差、標準差隨機變量x對其均值的離差平方的數(shù)學期望，E[xE(x)]2稱作隨機變