3.4基本不等式

1、3.4基本不等式,高一數(shù)學(xué)組 韓輝杰,【命題規(guī)律】高考命題重點(diǎn)考查基本不等式和證明不等式的常用方法，主要出現(xiàn)在選擇題或填空題，一般和其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查，難度中低。解答題若出現(xiàn)，一般“比較含蓄”，也有一定的難度——常和函數(shù)、數(shù)列等結(jié)合，問(wèn)法有求最值或證明不等式以及恒成立等。 老師：重要不等式重要嗎？ 學(xué)生：重要??！ 老師：為什么重要?。?學(xué)生：重要不等式嘛?。?一正二定三相等,1．?dāng)?shù)形結(jié)合記憶法,在正方形ABCD

2、中有四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為,這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 .,a,b,一個(gè)不等式：,思考：上式能否取“=”？,一.知識(shí)回顧,若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.,形的角度,數(shù)的角度,a2+b2－2ab=(a－b)2≥0,1．?dāng)?shù)形結(jié)合記憶法,一.知識(shí)回顧,重要不等式,分析：如果用 去

3、替換a、b,能得到什么結(jié)論? x、y應(yīng)滿足什么條件？,2．變量代換出公式,一.知識(shí)回顧,a2+b2≥2ab,分析：如果用 去替換a、b,能得到什么結(jié)論? x、y應(yīng)滿足什么條件？,2．變量代換出公式,一.知識(shí)回顧,a2+b2≥2ab,代數(shù)解釋：（兩）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).,3．基本不等式,均值不等式,,幾何解釋：半徑不小于半弦.,一.知識(shí)回顧,4．兩種常見(jiàn)形式,配湊定值,一.知識(shí)回顧,算術(shù)平均數(shù)與幾何平

4、均數(shù),一.知識(shí)回顧,5．兩個(gè)推廣,例1 已知 ，求其最小值，并指出何時(shí)取最小值.,二.典型例題,例1 已知 ，求其最小值，并指出何時(shí)取最小值.,二.典型例題,例1 已知 ，求其最小值，并指出何時(shí)取最小值.,二.典

5、型例題,若去掉x>0呢？,例2 勤勞致富養(yǎng)雞行, 雞舍要求是矩形, 一米籬笆兩元整, 一百平米咋最??？,,二.典型例題,例2 勤勞致富養(yǎng)雞行, 雞舍要求是矩形, 一米籬笆兩元整, 一百平米咋最??？,,二.典型例題,,變式：小伙勤勞又聰明, 送你四米也高興, 回家建個(gè)大雞舍,

6、 面積最大行不行？,二.典型例題,例3下列最小值為2的是（ ）,二.典型例題,A、 B、C、 D、,例3下列最小值為2的是（ ）,二.典型例題,A、 B、C、

7、 D、,C,例4 已知x、y都是正數(shù)，求證：,二.典型例題,(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.,二.典型例題,(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.,證明∵x，y都是正數(shù),∴ x＋y≥2 >0，,∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0,x2＋y2≥2 >0，,x3＋y3≥2 >

8、0，,∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥,＝８x3y3,即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.,2 ·2 ·2,（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，式中取等號(hào)）,（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，式中取等號(hào)）,例5 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積200m2的三級(jí)污水處理池（平面圖如上圖）。如果池四周圍墻建造單價(jià)400元/m，中間兩道隔墻建造

9、單價(jià)為248元/m，池底建造單價(jià)為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。,二.典型例題,例5 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積200m2的三級(jí)污水處理池（平面圖如上圖）。如果池四周圍墻建造單價(jià)400元/m，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m，池底建造單價(jià)為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。,二.典型例題,解：

10、設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為 x m, 總造價(jià)為y元，則,y=400· (2x+200/x×2)+248·(2×200/x) +80×200,=800x+259200/x+16000,當(dāng)且僅當(dāng)800x=259200/x, 即x=18時(shí)取等號(hào).,答：池長(zhǎng)18m，寬100/9 m時(shí)，造價(jià)最低為30400元.,=30400.,三.鞏固練習(xí),1、已知?jiǎng)tx y 的最大值是

11、 。,2、若實(shí)數(shù) ，且 ，則 的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、,三.鞏固練習(xí),1、已知?jiǎng)tx y 的最大值是 。,2、若實(shí)數(shù) ，且 ，則

12、 的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、,D,三.鞏固練習(xí),3、,三.鞏固練習(xí),3、,(4),三.鞏固練習(xí),4、 求函數(shù) 的最小值.,5、求函數(shù) 的最小值.,三.鞏固練習(xí),4、 求函數(shù)

13、 的最小值.,5、求函數(shù) 的最小值.,三.鞏固練習(xí),5、求函數(shù) 的最小值.,當(dāng)且僅當(dāng)…… “=” 無(wú)法取得！,三.鞏固練習(xí),6、已知a、b、c都是正數(shù)，求證 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc,三.鞏固練習(xí),6、已知a、b、c都是正數(shù)，求證 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８a

14、bc,三.鞏固練習(xí),7、某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月士地占用費(fèi) 與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離d成反比，而每月庫(kù)存貨物費(fèi) 與到車站的距離d成正比，如果在距離車站10公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用和分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站多遠(yuǎn)處.,三.鞏固練習(xí),7、某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月士地占用費(fèi) 與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離d成反比，而每月庫(kù)存貨物費(fèi) 與到車站的距離d成正比，如果在距離車站10公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用和分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)

15、元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站多遠(yuǎn)處.,四.拓展提升,例1、甲、乙兩電腦批發(fā)商每次在同一電腦耗材廠以相同價(jià)格購(gòu)進(jìn)電腦芯片。甲、乙兩公司共購(gòu)芯片兩次，每次的芯片價(jià)格不同，甲公司每次購(gòu)10000片芯片，乙公司每次購(gòu)10000元芯片，兩次購(gòu)芯片，哪家公司平均成本低？請(qǐng)給出證明過(guò)程。,四.拓展提升,例1、甲、乙兩電腦批發(fā)商每次在同一電腦耗材廠以相同價(jià)格購(gòu)進(jìn)電腦芯片。甲、乙兩公司共購(gòu)芯片兩次，每次的芯片價(jià)格不同，甲公司每次購(gòu)10

16、000片芯片，乙公司每次購(gòu)10000元芯片，兩次購(gòu)芯片，哪家公司平均成本低？請(qǐng)給出證明過(guò)程。,解：設(shè)兩次的價(jià)格分別為每片a元和b元,四.拓展提升,例2、兩次購(gòu)買同一種物品,可以有兩種不同的策略.A:不考慮物品價(jià)格的升降,每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量一定；B:不考慮物品價(jià)格的升降,每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一定.若兩次購(gòu)買這種物品時(shí)價(jià)格不相同,則兩種策略中那種比較經(jīng)濟(jì)？,四.拓展提升,例2、兩次購(gòu)買同一種物品,可以有兩種不同的策略.A:不考慮物