變指數(shù)Sobolev空間在橢圓型微分方程中的應用.pdf

1、隨著自然科學和工程技術中許多非線性問題的不斷出現(xiàn), Sobolev空間表現(xiàn)出了其應用范圍的局限性.例如,對一類具有變指數(shù)增長性條件的非線性問題的研究.具有變指數(shù)增長性條件的非線性問題是一個新興的研究課題.在對這類非線性問題進行研究時,變指數(shù)Lebesgue空間及Sobolev空間發(fā)揮著重要的作用.
　　在本文中,我們主要以變指數(shù)Sobolev空間W1,p(x)(Ω)為背景,研究了一類具變分結(jié)構(gòu)的橢圓型p(x)-Laplace方程(

2、組)及半變分不等式,其中Ω包含于RN.
　　由于指數(shù)p(x)為函數(shù), p(x)-Laplace算子較之p-Laplace具有更為復雜的非線性性.例如, p(x)-Laplace算子是非齊次的.這就使得在常指數(shù)情形下使用的研究方法對于變指數(shù)情形不再適用.在本文中,我們先在較為寬松的增長條件下對能量泛函的性質(zhì)進行了討論,然后結(jié)合變分的方法研究了此類p(x)-Laplace非線性問題的解.
　　本文的主要內(nèi)容如下:
　　1.

3、對一類具有次臨界增長階的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,我們通過求與p(x)-Laplace方程相關的能量泛函φ的全球極小值點,得到了φ的一個非平凡臨界點u0∈W1,p(x)(RN),從而得到了方程在RN上非平凡弱解的存在性.然后,基于一類對稱的山路定理,我們得到了泛函φ的一列能量值趨于無窮的臨界點{un}包含于W1,p(x)(RN),進而得到了方程在RN上弱解的多重性.最后,通過上下解的方法,我們在有界域Ω上得到了方程弱

4、解的一個分支結(jié)果.
　　2.對一類具有次臨界增長階的p(x)-Laplace方程組弱解的研究.我們主要基于一類強不定泛函的臨界點定理,得到了與方程組相關的能量泛函I的一列能量值趨于無窮的臨界點{(un,vn)}包含于W1,p(x)0(Ω)× W1,p(x)0(Ω),進而得到了此方程組Dirichlet邊值問題在有界域弱解的多重性.
　　3.對一類具有臨界指數(shù)的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,推廣了Sobolev

5、空間上的一類集中緊致性原理,我們在變指數(shù)Sobolev空間W1,p(x)(RN)上建立了集中緊致性原理.然后基于此集中緊致性原理,并結(jié)合對稱的山路定理,我們得到了泛函φ的一列徑向?qū)ΨQ且能量值趨于無窮的臨界點{un}包含于W1,p(x)(RN),從而得到了方程在RN上弱解的多重性.
　　4.對一類具有次臨界增長階的p(x)-Laplace半變分不等式的研究.在這部分中,主要基于一類不可微泛函的臨界點理論,我們對與半變分問題相關的局部