非線性多點(diǎn)邊值問(wèn)題和一類非線性臨界問(wèn)題的研究.pdf

1、隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,在物理學(xué)、化學(xué)、數(shù)學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、控制論等領(lǐng)域出現(xiàn)了各種各樣的非線性問(wèn)題.由于其廣泛的應(yīng)用背景和深刻的數(shù)學(xué)意義,這些非線性問(wèn)題引起了許多學(xué)者的密切關(guān)注.一方面,非線性常微分方程邊值問(wèn)題的研究是一個(gè)具有持久生命力的課題.近一段時(shí)期以來(lái),由于實(shí)際問(wèn)題的需要,非線性常微分方程邊值問(wèn)題解的存在性受到廣泛的關(guān)注.在這一問(wèn)題的研究中,很多文獻(xiàn)都是從二階非線性邊值問(wèn)題推廣到具有一維p-Laplacian邊值問(wèn)題上

2、,但是,很少有文獻(xiàn)來(lái)關(guān)注更廣泛的一類算子:遞增同胚和正同態(tài)算子.另一方面,由于自然科學(xué)的飛速發(fā)展,在物理學(xué)、幾何學(xué)等眾多領(lǐng)域出現(xiàn)了大量的非線性偏微分方程,這些方程對(duì)應(yīng)的變分泛函不滿足(PS)條件,對(duì)于這類方程的研究,以往尋找臨界點(diǎn)的經(jīng)典方法已經(jīng)無(wú)法直接應(yīng)用.為了解決這類變分問(wèn)題,產(chǎn)生了許多新的非線性分析的方法和技術(shù).例如,P.L.Lions所發(fā)展的集中緊性原理(Concentration—Compactness-Prineiple)見(jiàn)文

3、[115,116].目前,非線性泛函分析已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支.它為解決各種各樣的非線性問(wèn)題提供了一個(gè)富有成效的理論工具.利用非線性泛函分析研究問(wèn)題的主要方法有:拓?fù)涠壤碚?、臨界點(diǎn)理論、Morse理論、變分方法、半序方法以及分析方法等內(nèi)容.關(guān)于非線性泛函分析及其應(yīng)用,國(guó)內(nèi)外有許多優(yōu)秀的專著([37,46,65,84,85,134,163,168]).
　　 盡管很多學(xué)者對(duì)非線性多點(diǎn)邊值問(wèn)題和非線性偏微分方程解的存在性進(jìn)

4、行研究,并取得了豐富的成果.但是,對(duì)于帶有遞增同胚和正同態(tài)算子的非線性多點(diǎn)邊值問(wèn)題以及臨界問(wèn)題解的存在性得到的結(jié)果比較少.因此,仍然存在許多未解決的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.針對(duì)以上這些問(wèn)題,在本篇論文中,我們利用拓?fù)涠壤碚摗⑸舷陆夥椒ㄒ约芭R界點(diǎn)理論,來(lái)研究非線性多點(diǎn)邊值問(wèn)題和一類臨界問(wèn)題解的存在性,獲得了一系列新的可解性和多重性結(jié)果.整個(gè)內(nèi)容分為以下四章:
　　 在第一章中,我們提供非線性泛函分析中的一些定義和不動(dòng)點(diǎn)定理.
　　

5、 在第二章中,我們主要研究定義在有限區(qū)間上的多點(diǎn)邊值問(wèn)題,包括:
　　 (1)討論帶有遞增同胚和正同態(tài)算子的高階多點(diǎn)邊值問(wèn)題無(wú)窮多個(gè)正解的存在性.這一節(jié)的主要難點(diǎn)是考慮適當(dāng)?shù)倪呏禇l件以及對(duì)非線性項(xiàng)含有的高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行控制.所得到的結(jié)果統(tǒng)一和推廣了文[86,87,95,101,140].
　　 (2)討論一類2n階多點(diǎn)邊值問(wèn)題迭代解的存在性.這一節(jié)的主要難點(diǎn)是建立極大值原理(即引理2.2.2).所得到的結(jié)果推廣了文[17,

6、18,117,165].
　　 (3)討論帶有遞增同胚和正同態(tài)算子的二階三點(diǎn)脈沖邊值問(wèn)題無(wú)窮多個(gè)正解的存在性.這一節(jié)的主要難點(diǎn)是選取適當(dāng)?shù)倪呏禇l件并建立起來(lái)相應(yīng)的積分算子,并且控制住脈沖點(diǎn)和奇點(diǎn)之間的關(guān)系.所得到的結(jié)果推廣了文[86,87,95,101,140].
　　 (4)討論帶有遞增同胚和正同態(tài)算子的三階m點(diǎn)脈沖邊值問(wèn)題三個(gè)正解的存在性.所得到的結(jié)果推廣了文[13,105].
　　 (5)對(duì)于分?jǐn)?shù)次微分方程

7、,我們打破常規(guī)限制,采用上下解結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)的方法給出其正解的存在性.
　　 在第三章中,我們主要考慮定義在無(wú)窮區(qū)間上的多點(diǎn)邊值問(wèn)題,由于[0+∞)不是一個(gè)緊區(qū)間.因此,以前的一些重要不等式不適合這種情況.尤其是當(dāng)非線性項(xiàng)顯含未知函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)時(shí),討論邊值問(wèn)題的正解將會(huì)面臨更多的困難.這是由于在錐上定義一個(gè)有界區(qū)域時(shí),必須考慮一階導(dǎo)數(shù)的取值范圍,從而使邊界的“拉伸”或是“壓縮”不易實(shí)現(xiàn).為了克服這些困難,在本章中我們用到了一個(gè)特殊的B

8、anach空間來(lái)構(gòu)造一個(gè)特殊的錐,來(lái)保證定義在[0,+∞)上的泛函有比較好的性質(zhì)并且我們可以應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理.這章內(nèi)容包括:
　　 (1)討論半軸上帶有遞增同胚和正同態(tài)算子的二階多點(diǎn)邊值問(wèn)題一個(gè)、兩個(gè)以及三個(gè)正解的存在性.所得到的結(jié)果推廣了以前有限區(qū)間上對(duì)應(yīng)的已有結(jié)果.
　　 (2)討論在無(wú)窮區(qū)間上,非線性項(xiàng)顯含未知函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的三階多點(diǎn)邊值問(wèn)題無(wú)窮多正解存在性的充分條件.所得的結(jié)果是新的.
　　 在最后一章,我們

9、主要研究一類臨界問(wèn)題,包括:帶有電磁場(chǎng)和臨界非線性項(xiàng)的擾動(dòng)Schr(o)dinger方程、帶有臨界Sobolev-Hardy指數(shù)的擬線性橢圓方程.這類問(wèn)題的難點(diǎn)就是使得失去的緊性“恢復(fù)”.我們分別利用變分方法、一個(gè)新的對(duì)稱的越山引理Kaiikiya[90],得到了帶有電磁場(chǎng)和臨界非線性項(xiàng)的擾動(dòng)Schr(o)dinger方程駐波解的存在性和多解性以及帶有臨界Sobolev-Hardy指數(shù)的擬線性橢圓方程無(wú)窮多個(gè)小解的存在性.所得到的結(jié)果推