關(guān)于常曲率曲面上測(cè)地線的密度公式及Crofton公式的注記.pdf

1、在本文中，我們主要討論了三個(gè)問(wèn)題.首先，我們研究的是歐氏平面R2上直線的密度，得到平面上直線的幾種不同的密度公式.利用這些密度公式給出了關(guān)于平面上直線與凸集相交的測(cè)度的Crofton公式和Blaschke公式.然后，我們考慮這些平面上直線的密度公式在單位球面上的推廣，即研究單位球面上大圓的幾種密度公式.因而得到了單位球面上大圓與凸集相交的測(cè)度的Crofton公式和Blaschke公式.最后，我們類似地考慮雙曲平面上測(cè)地線的密度.同時(shí)得到

2、了關(guān)于直線與凸集相交測(cè)度的Crofton公式和Blaschke公式在雙曲平面上的推廣.
　　 本文的主要結(jié)果如下:
　　 定理4.2.設(shè)單位球上yOz平面和xOy平面所在的大圓分別記為C0和C1.D為大圓C0和C1的交點(diǎn).若大圓C是由大圓C與C1的夾角α以及DA（記為t）所確定，則dC=sinαdα∧dt.
　　 定理4.3.設(shè)單位球面上的大圓C與C0的交點(diǎn)為Q1，Q1D記為s.若大圓C是由s和t確定，則dC=s

3、insds∧dt.
　　 定理4.4.設(shè)單位球面上極點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，y，z），則dC=dx∧dy/z.
　　 定理4.5.設(shè)單位球面上有一曲線C'與大圓C相交于點(diǎn)P，C'和C的夾角記為(φ)'我們用s表示曲線C'上P點(diǎn)的弧長(zhǎng)參數(shù)，則dC=sin(φ)d(φ)∧ds.
　　 定理4.6.設(shè)C為單位球面上長(zhǎng)為L(zhǎng)的測(cè)地線段，則大圓集{C∶C∩(C)≠(φ)}的不變測(cè)度為:∫C∩(C)≠(φ)dC=2L.
　　

4、定理4.7.設(shè)(C)為單位球面上閉的測(cè)地多邊形，其周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則大圓集{C∶C∩C≠(φ)}的不變測(cè)度為:∫C∩(C)≠(φ)ndC=2L.其中n表示(C)和C交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
　　 定理4.8.設(shè)K為單位球面上周長(zhǎng)為L(zhǎng)的有界凸集，則大圓集{C∶C∩K≠(φ)}的不變測(cè)度為:∫C∩K≠(φ)dC=L.
　　 定理5.2.設(shè)Γ為雙曲平面上長(zhǎng)為L(zhǎng)的測(cè)地線段，則測(cè)地線集{C∶C∩?！?φ)}的不變測(cè)度為:∫C∩Γ≠(φ)dC=2L.