正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的微分博弈、數(shù)值逼近及最優(yōu)保費(fèi)應(yīng)用.pdf

1、本論文主要討論正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)下的隨機(jī)微分博弈、解的數(shù)值逼近及最優(yōu)保費(fèi)中的應(yīng)用問(wèn)題。論文包括以下四個(gè)部分:第一部分研究含脈沖控制的正倒向隨機(jī)系統(tǒng)非零和微分博弈問(wèn)題，得到了其最大值原理及驗(yàn)證定理;第二部分研究非對(duì)稱信息下線性二次非零和微分博弈問(wèn)題，得到了幾類非對(duì)稱信息框架下微分博弈問(wèn)題的納什均衡點(diǎn);第三部分我們應(yīng)用分支粒子系統(tǒng)給出了一類耦合的正倒向隨機(jī)微分方程解的數(shù)值逼近，并證明了其收斂性和收斂速度;第四部分研究了一個(gè)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)

2、保費(fèi)問(wèn)題，我們顯式地給出了最優(yōu)保費(fèi)策略及相應(yīng)的最優(yōu)指標(biāo)泛函，并給出了數(shù)值模擬來(lái)解釋理論結(jié)果。
　　下面將進(jìn)一步介紹論文的內(nèi)容及結(jié)構(gòu)。
　　第一章，對(duì)論文所研究問(wèn)題的相關(guān)歷史文獻(xiàn)作一個(gè)簡(jiǎn)要回顧。
　　第二章，我們研究一類非零和隨機(jī)微分博弈問(wèn)題的最大值原理和驗(yàn)證定理，其中博弈系統(tǒng)是由正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)的，控制變量由兩部分組成:連續(xù)控制變量和脈沖控制變量。通過(guò)分別對(duì)兩部分控制變量使用凸變分，我們得到了該博弈系統(tǒng)開(kāi)環(huán)納

3、什均衡點(diǎn)的最大值原理形式的必要性條件。另外，我們還得到了充分性均衡條件，用于幫助找到納什均衡點(diǎn)。最后，我們將該理論結(jié)果應(yīng)用于一個(gè)基金管理問(wèn)題中，并顯式得到了最優(yōu)投資組合和最優(yōu)脈沖消費(fèi)策略。本章結(jié)果發(fā)表于論文:
　　D.Chang and Z.Wu,Stochastic maximum principle for non-zero sum differential games of FBSDEs with impulse contr

4、ols and its application to finance,Journal ofIndustrial and Management Optimization, Vol.11(2015),27-40.
　　第三章，我們研究一類非對(duì)稱信息下線性二次(簡(jiǎn)稱LQ)非零和微分博弈問(wèn)題。與已有的研究結(jié)果相比，本研究工作的一個(gè)突出特色在于參與者可得的信息是非對(duì)稱的。通過(guò)最大值原理和完全平方的技巧，我們得到了幾類非對(duì)稱信息框架下微分博弈

5、問(wèn)題的納什均衡點(diǎn)。在證明過(guò)程中，我們引入了一些Riccati方程和正倒向隨機(jī)濾波方程，并證明了方程解的存在唯一性。最后，借助Riccati方程的解，我們將每一類非對(duì)稱信息下博弈問(wèn)題的唯一納什均衡點(diǎn)表示成狀態(tài)過(guò)程最優(yōu)濾波的反饋形式。本章結(jié)果發(fā)表于論文:
　　D.Chang and H.Xiao,Linear quadratic nonzero sum differential games with asym-metric infor

6、mation,Mathematical Problems in Engineering,vol.2014,Article ID262314,11 pages，2014.
　　第四章，我們將利用隨機(jī)環(huán)境下的分支粒子系統(tǒng)，給出一類耦合的正倒向隨機(jī)微分方程解的新的數(shù)值格式。首先，借助四步法，我們引入一個(gè)偏微分方程來(lái)表示正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)的解。然后，我們分別建立有窮和無(wú)窮粒子系統(tǒng)來(lái)表示該偏微分方程的近似解，其中每個(gè)粒子的位置和權(quán)重各自

7、滿足由原正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)推導(dǎo)出的新的隨機(jī)微分方程。最后，我們建立一個(gè)分支粒子系統(tǒng)來(lái)定義原正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)的近似解。每個(gè)粒子的分支機(jī)制依賴于該粒子在短暫存活時(shí)間∈=n-2α內(nèi)的路徑，其中n表示初始粒子數(shù)目，α＜1/2是固定參數(shù)。關(guān)于該數(shù)值格式的收斂性和收斂速度我們也給出了證明。本章結(jié)果完成論文:
　　D.Chang,H.Liu and J.Xiong,A branching particle system approxi

8、mation for aclass of FBSDEs, Journal of Mathematical Analysis and Applications, submitted.
　　第五章，我們研究一個(gè)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)保費(fèi)問(wèn)題，保險(xiǎn)公司可以通過(guò)調(diào)整其保費(fèi)費(fèi)率來(lái)控制公司的現(xiàn)金余額。公司目標(biāo)是通過(guò)收取合適的保費(fèi)金額使得公司的現(xiàn)金余額關(guān)于預(yù)設(shè)目標(biāo)的方差、保費(fèi)策略的經(jīng)營(yíng)成本及一般的遞歸效用最小化。我們研究的問(wèn)題有三個(gè)突出的特色:1.完全

9、信息和部分信息的情形都做了研究;2.狀態(tài)含終端約束;3.通過(guò)引入一般的隨機(jī)遞歸效應(yīng)，我們的最優(yōu)化問(wèn)題建立在正倒向隨機(jī)微分方程的框架下。最終，我們顯式地給出了最優(yōu)保費(fèi)策略及相應(yīng)的最優(yōu)指標(biāo)泛函，并給出了數(shù)值模擬來(lái)解釋理論結(jié)果。本章結(jié)果完成論文:
　　D.Chang and Z.Wu,Optimal premium policy driven by FBSDEs under full andpartial information,wor

10、king paper.
　　下面我們給出本論文的主要結(jié)論。
　　1.含脈沖控制的正倒向隨機(jī)系統(tǒng)非零和微分博弈的最大值原理
　　我們考慮下列含脈沖控制的非零和微分博弈的正倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)稱FBSDE)系統(tǒng):{ dxv1，v2，η1,η2(t)=b(t，xv1,v2，η1,η2(t)，v1(t)，v2(t))dt+σ(t，xv1,v2，η1,η2(t)，v1(t)，v2(t))dW(t)+ C1(t)dη1(t)+D1

11、(t)dη2(t),(2.1.3)-dyv1,v2,η1,η2(t)=f(t，xv1,v2,η1,η2(t)，yv1,v2,η1,η2(t)，zv1，v2,η1,η2(t)，v1(t)，v2(t))dt-zv1,v2,η1,η2(t)dW(t)+C2(t)dη1(t)+D2(t)dη2(t),xv1，v2,η1,η2(0)=a∈Rn，yv1,v2,η1,η2(T)=g(x(T))，其中b:[0，T]×Rn×Rk1×Rk2→Rn，σ:[0

12、，T]×Rn×Rk1×Rk2→Rn×d，f:[0，T]×Rn×Rm×Rm×d×Rk1×Rk2→Rm，g:Rn→Rm是可測(cè)映射，C1:[0，T]→Rn×d1，C2:[0，T]→Rm×d1，D1:[0，T]→Rn×d2，D2:[0，T]→Rm×d2是連續(xù)函數(shù)。v1(·)和v2(·)是參與者1和參與者2的連續(xù)控制過(guò)程。η1(·)和η2(·)是參與者1和參與者2的脈沖控制過(guò)程。
　　接下來(lái)我們引入代價(jià)泛函:Ji(v1(·),v2(·),η

13、1(·),η2(·))=E{φi(xv1,v2,η1,η2(T))+γi(yv1,v2,η1,η2(0))+∑j≥1li((Τ)j，ηj）(2.1.4)+∫T0hi(t，xv1，v2，η1，η2，yv1，v2，η1，η2(t)，zv1，v2，η1，η2(t)，v1(t)，v2(t))dt}，其中φi:Rn→R，γi:Rm→R(i=1，2）和hi:[0，T]×Rn×Rm×Rm×d×Rk1×Rk2→R(i=1，2)是給定的可測(cè)映射。

14、　　假設(shè)每個(gè)參與者都希望通過(guò)選擇合適的容許控制(仇(·)，ηi(·))(i=1，2)來(lái)最大化他自己的代價(jià)泛函Ji(v1(·)，v2(·)，η1(·)，η2(·))，則我們的問(wèn)題是找到一組容許控制(u1(·)，ζ1(·)，u2(·)，ζ2(·))∈A1×A2使得{J1(u1(·)，ζ1(·)，u2(·)，ζ2(·))=max(v1(·),η1(·）)∈A1 J1(v1(·)，η1(·)，u2(·)，ζ2(·))，(2.1.5)J2(u1(

15、·)，ζ1(·)，u2(·)，ζ2(·))=max(v2(·),η2(·)）∈A2 J2(u1(·)，ζ1(·)，v2(·)，η2(·)).
　　我們稱這一問(wèn)題為含脈沖控制的正倒向非零和隨機(jī)微分博弈。
　　這一部分的主要結(jié)果是如下定理:
　　定理2.1.假設(shè)(H2.1)和(H2.3)成立。令(u1(·)，ζ1(·)，u2(·)，ζ2(·))∈A1×A2是前述博弈問(wèn)題的一個(gè)納什均衡點(diǎn)，(x(·)，y(·)，z(·))是相

16、應(yīng)的狀態(tài)軌跡，(pi(·)，qi(·)，ki(·))(i=1，2)是伴隨方程(2.2.6)的解。則對(duì)(V)v1∈U1，v2∈U2，η1(·)∈κ1和η2(·)∈κ2，有H1v1(t，x(t)，y(t)，z(t)，u1(t)，u2(t)，p1(t)，q1(t)，k1(t))(v1-u1(t))≤0 a.e.，a.s.，(2.2.10)E{∑j≥1[(l1ζ1((Τ)j，ζ1j)+q*1((Τ)j)C1((Τ)j).-p*1（(Τ)j）C2

17、（(Τ)j））(η1j-ζ1j)]}≤0，(2.2.11)H2v2(t，x(t),y(t),z(t),u1(t),u2(t),p2(t),q2(t),k2(t))(v2-u2(t))≤0 a.e.，a.s.，(2.2.12)E{∑j≥1[（l2ζ2（(Τ)j，ζ2j）+q*2((Τ)j)D1（(Τ)j）-p*2((Τ)j)D2((Τ)j))(η2j-ζ2j)]}≤0.(2.2.13)
　　定理2.2.假設(shè)(H2.1)-(H2.3)

18、成立。假設(shè)函數(shù)φi，γi，ηi→li(t，ηi)和(x，y，z，v1，v2)→Hi(t，x，y，z，v1，v2，pi，qi,ki)(i=1，2)是凸的。對(duì)于K∈Rm×n和ξ∈L2(Ω，F(xiàn)T，P;Rm)，yv1，v2，η1，η2(T)=Kxv1,v2，η1，η2(T)+ξ，(v1(·)，η1(·)，v2(·)，η2(·))∈A1×A2.令(pi，qi，ki)(i=1，2)是關(guān)于(u1，ζ1，u2，ζ2)∈A1×A2伴隨方程的解。若(u1，

19、ζ1，u2，ζ2)滿足(2.2.10)，(2.2.11)，(2.2.12)和(2.2.13)，則其為含脈沖控制正倒向非零和隨機(jī)微分博弈的一個(gè)納什均衡點(diǎn)。
　　2.非對(duì)稱信息下線性二次非零和微分博弈
　　在這一部分我們研究非對(duì)稱信息下線性二次非零和微分博弈問(wèn)題。為了簡(jiǎn)便，我們只考慮兩個(gè)參與者的情形?？紤]下列一維SDE{ dxv1,v2(t)=[a(t)xv1,v2(t)+b1(t)v1(t)+b2(t)v2(t)+c(t)]d

20、t+ g1(t)dW1(t)+[e(t)xv1,v2(t)+g2(t)]dW2(t)+g3(t)dW3(t),(3.1.2)xv1，v2(0)=x0.
　　代價(jià)泛函的形式為Ji(v1(·)，v2(·))=1/2E[∫T0(li(t)xv1,v2(t)2+ mi(t)vi(t)2)dt+rixv1，v2(T）2],(i=1，2)(3.1.3)其中a, b1，b2，c，e，g1，g2和g3是關(guān)于t的有界確定性函數(shù)，l1和l2是關(guān)于t的

21、有界非負(fù)確定性函數(shù)，m1和m2是關(guān)于t的有界正確定性函數(shù)，r1和r2是兩個(gè)非負(fù)常數(shù)。為了記號(hào)簡(jiǎn)便，在不會(huì)混淆的情況下，我們刪掉所有過(guò)程和確定性函數(shù)記號(hào)中表示依賴于時(shí)間變量的t.v1(·)和v2(·)分別是參與者1和參與者2的控制過(guò)程。我們總是使用下標(biāo)1（相應(yīng)的，下標(biāo)2）來(lái)刻畫與參與者1（相應(yīng)的，參與者2）相關(guān)的控制變量，并使用xv1,v2來(lái)表示狀態(tài)依賴于控制變量(v1，v2).
　　令Ft表示t時(shí)刻的完全信息，Git(∈)Ft是給

22、定的子域流，表示參與者i(i=1，2)在t∈[0，T]時(shí)刻可得的信息。如果Git(∈)Ft且Git≠Ft，我們稱參與者i的可得信息是部分信息或不完備信息。若Git≠G2t，我們稱參與者1和參與者2的可得信息非對(duì)稱。我們將研究以下四類非對(duì)稱信息下的問(wèn)題:
　　(i) G1t=F1,2t和G2t=F2,3t，即，兩個(gè)參與者掌握共同的部分信息F2t;
　　(ii) G1t=F1,2t和G2t=F2t，即，參與者1比參與者2掌握更多

23、的信息;
　　(iii)G1t=Ft和G2t=F2t，即，參與者1掌握完全信息而參與者2掌握部分信息;
　　(iv)G1t=F1，2t和G2t=F3t，即，兩個(gè)參與者掌握的信息相互獨(dú)立。
　　假設(shè)每個(gè)參與者都希望通過(guò)選擇合適的容許控制vi(·)(i=1，2)來(lái)最小化他/她自己的代價(jià)泛函Ji(v1(·)，v2(·)).在本章的研究工作中，我們的問(wèn)題是，在非對(duì)稱信息的設(shè)置下，找到(u1(·)，u2(·))∈u1×u2，其被

24、稱為博弈問(wèn)題的納什均衡點(diǎn)，使得{J1(u1(·)，u2(·))=minv1(·)(∈)u1 J1(v1(·),u2(·)),(3.1.4)J2(u1(·)，u2(·))=min u2(·)(∈)u2 J2(u1(·)，v2(·)).我們稱上述問(wèn)題為非對(duì)稱信息下線性二次非零和微分博弈問(wèn)題。為了簡(jiǎn)便，我們用問(wèn)題(LQNZSDG)來(lái)表示。
　　這一部分的主要結(jié)果是如下定理:
　　定理3.1.(u1，u2)是問(wèn)題(LQNZSDG)的

25、納什均衡點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)(u1，u2)滿足(3.3.8)且(x,(y1,z11,z12,z13),(y2,z21,z22,z23))滿足FBSDE(3.3.9).
　　分別考慮四類非對(duì)稱信息下的情形。
　　情形1:G1t=F1,2t且G2t=F2,3t.
　　定理3.1可如下重寫為:
　　定理3.2.(u1，u2)是問(wèn)題(LQNZSDG)的納什均衡點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)(u1，u2)滿足如下形式:{ u1(t)=-m-11(t)b

26、1(t)(y)1(t)，(3.3.11)u2(t)=-m-12(t)b2(t)(y)2(t),其中（x，(y1，z11，z12，z13)，(y2，z21，z22，z23))是下列FBSDE的解{ dx=[ax-b21m-1(y)1-b22m-12-(y)2+c]dt+g1dW1+[ex+g2]dW2+g3dW3,-dy1=[ay1+ez12+l1x]dt-z11dW1-z12dW2-z13dW3,(3.3.12)-dy2=[ay2+ez

27、22+l2x] dt-z21dW1-z22dW2-z23dW3,x(0)=x0,y1(T)=r1x(T),y2(T)=r2x(T).
　　我們推導(dǎo)出納什均衡點(diǎn)，其被表示成狀態(tài)x的最優(yōu)濾波(x)，(x)和(x)的反饋。
　　定理3.4.在假設(shè)（H3.3）下，問(wèn)題(LQNZSDG)有唯一的納什均衡點(diǎn)，表示為{ u1（t)=-m-11（t)b1（t)（γ1（t)(x)（t)+γ2（t)(x)(t)+γ3（t)），u2(t)=-m-

28、12(t)b2(t)(Τ1(t)(x)(t)+(Τ)2（t）(x)(t)+(Τ)3(t))，其中(x)，(x)和(x)分別表示為(3.3.32)，(3.3.40)和(3.3.45)，γi和(Τ)i(i=1，2，3)分別由系統(tǒng)(3.3.37)和(3.3.43)唯一確定。
　　情形2:G1t=F1,2t且G2t=F2t.
　　我們得到下列定理
　　定理3.5.(u1，u2)是問(wèn)題(LQNZSDG)的納什均衡點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng){ u

29、1(t)=-m-11(t)b1(t)(y)1(t),(3.3.46)u2(t)=-m-12(t)b2(t)(y)2(t),其中(x,(y1,z11,z12,z13),(y2,z21,z22,z23))是下列FBSDE的解{ dx=[ax-b21m-11(y)1-b22m-12(y)2+c]dt+g1dW1+[ex+g2]dW2+g3dW3,-dy1=[ay1+ez12+l1x]dt-z11dW1-z12dW2-z13dW3,(3.3.4

30、7)-dy2=[ay2+ez22+l2x] dt-z21dW1-z22dW2-z23dW3,x(0)=x0,y1(T)=r1x(T),y2(T)=r2x(T).
　　定理3.6.若（H3.3）成立，則問(wèn)題(LQNZSDG)有唯一的納什均衡點(diǎn)表示為{ u1(t)=-m-11(t)b1(t)(γ1(t)(x)(t)+γ2(t)(x)(t)+γ3(t))，u2(t)=-m-12(t)b2(t)(α2(t)(x)(t)+β2(t)),其中

31、(x)和(x)分別表示為(3.3.32)和(3.3.40).
　　情形3:G1t=Ft且G2t=F2t.
　　我們有下列定理
　　定理3.7.(u1, u2)是問(wèn)題(LQNZSDG)的納什均衡點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng){ u1(t)=-m-11(t)b1(t)y1(t),(3.3.48)u2(t)=-m-12(t)b2(t)(y)2(t),其中(x，(y1,z11,z12,z13),(y2,z21,z22,z23))是下列FBSDE的

32、解{ dx=[ax-b21m-11y1-b22m2-1(y)2-+ c]dt+g1dW1+[ex+g2]dW2+g3dW3,-dy1=[ay1+ez12+l1x]dt-z11dW1-z12dW2-z13dW3,(3.3.49)-dy2=[ay2+ez22+l2x]dt-z21dW1-z22dW2-z23dW3,x(0)=x0，y1(T)=r1x(T),y2(T)=r2x(T).
　　定理3.8.在假設(shè)（H3.3）下，問(wèn)題(LQNZ

33、SDG)有唯一的納什均衡點(diǎn)表示為{ u1(t)=-m-11(t)b1(t)(γ1(t)x(t)+γ2(t)(x)(t)+γ3(t))，u2(t)=-m-12(t)b2(t)（α2（t)(x)(x)（t)+β2（t)），其中(x)和x分別表示為(3.3.32)和(3.3.52).
　　情形4:G1t=F1,2t且G2t=F3t.
　　我們有下列定理
　　定理3.9.(u1, u2)是問(wèn)題(LQNZSDG)的納什均衡點(diǎn)當(dāng)且

34、僅當(dāng){ u1(t)=-m-11(t)b1(t)(y)1(t),(3.3.53)u2(t)=-m-12(t)b2(t)(y)2(t),其中(x，(y1，z11，z12，z13)，(y2，z21，z22，z23))是下列FBSDE的解{ dx=[ax-b21m-11(y)1-b22m-12(y)2+c]dt+g1dW1+g2dW2+g3dW3,-dy1=[ay1+l1x]dt-z11dW1-z12dW2-z13dW3,(3.3.54)-dy

35、2=[ay2+l2x] dt-z21dW1-z22dW2-z23dW3,x(0)=x0,y1(T)=r1x(T),y2(T)=r2x(T).
　　定理3.11.在假設(shè)（H3.3）和（H3.4）下，問(wèn)題(LQNZSDG)有唯一的納什均衡點(diǎn)表示為{ u1(t)=-m-11(t)b1(t)(γ1(t)(x)(t)+γ2(t)Ex(t)+γ3（t)），u2(t)=-m-12(t)b2(t)((Τ)1(t)(x)(t)+(Τ)2(t)Ex(

36、t)+(Τ)3(t)),其中Ex，(x)和(x)分別表示為(3.3.59)，(3.3.61)和(3.3.63)，γi和(Τ)i(i=1，2，3)分別由系統(tǒng)(3.3.37)和(3.3.43)唯一確定，其中e(·)被0代替。
　　3.一類正倒向隨機(jī)微分方程的分支粒子系統(tǒng)逼近
　　我們考慮下列固定時(shí)間區(qū)間[0，T]內(nèi)的正倒向隨機(jī)微分方程:{ dX(t)=b(X(t)，Y(t))dt+σ(X(t))dW(t)，-dY(t)=g(X(

37、t),Y(t),Z(t))dt-Z(t)dW(t),(4.1.1)X(0)=x，Y(T)=f(X(T))，其中b:Rd×Rk→ Rd，σ:Rd→Rd×l，g:Rd×Rk×Rk×l→Rk及f:Rd→Rk.
　　接下來(lái)，我們做出如下假設(shè):
　　假設(shè)(H4.1):g滿足如下形式:對(duì)z=(z1，…，zl)，g(x，y，z)=C(x，y)y+l∑j=1Dj(x，y)zj，b(x，y)，σ(x)，g(x，y，z)，f(x)，C(x，y)

38、和D(x，y)都是有界Lipschitz連續(xù)映射且二階偏導(dǎo)數(shù)有界。
　　借助四步法的思想，我們知道上述FBSDE的解滿足關(guān)系Y(t)=u(t，X(t))，Z(t)=(x)xu(t，X(t))σ(X(t))，其中u(t，x)是下列PDE的解{-(e)u(t,x)/(e)t=Lu(t,x)+C(x,u(t,x))u(t,x)+l∑j=1Dj(x,u(t,x))(e)xu(t,x)σj(x),u(T，x)=f(x)，其中L=1/2d∑i

39、,j=1aij(e)xi，xj+d∑i=1bi(e)xi，且aij=(σσ*)ij，σ=(σ1，…，σl)，bi是b的第i個(gè)分量。
　　對(duì)0≤t≤T，假定v(t，x)=u(T-t，x).可知{(e)v(t,x)/(e)t=Lv(t,x)+C(x,v(t,x))v(t,x)+l∑j=1Dj(x,v(t,x))(e)xv(t,x)σj(x),(4.1.2)v(0，x)=f(x).
　　該非線性拋物型偏微分方程(4.1.2)可以被

40、寫作:{(e)v(t,v)/(e)t=1/2dΣi,j=1aij(x)(e)xi,xjv(t,x)+dΣi=1bi(x,v)(e)xiv(t,x)+C(x,v)v(t,x)+l∑j=1Dj(x，v)(e)xv(t，x)σj(x)，(4.1.3)v(0，x)=f(x).
　　我們構(gòu)建一個(gè)無(wú)窮粒子系統(tǒng){Xi(t):i∈N}，其在Rd中的位置和隨時(shí)間變化的權(quán)重{Ai(t):i∈N}滿足下列方程:對(duì)0＜t≤T，i=1，2，……{ dXi(

41、t)=(b)(Xi(t),v(t,Xi(t)))dt+σ(Xi(t))dBi(t),dAi(t)=Ai(t)(x)(Xi(t),v(t,Xi(t)))dt,(4.1.4)V(t)=lim n→∞1/n nΣj=1Aj(t)δXj(t)，其初始值{Xi(0)，Ai(0)，i∈N}獨(dú)立同分布，{Bi(t)，i∈N}是獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)且=∫Rdφ(x)f(x)dx，對(duì)任意φ∈C2b（Rd）.
　　我們得到
　　定

42、理4.2.粒子系統(tǒng)(4.1.4)的解是唯一的，其密度函數(shù)是偏微分方程(4.1.3)的解。
　　下面引入一個(gè)有窮粒子系統(tǒng)來(lái)得到近似解:對(duì)固定的δ＞0，t∈(0，T]，{ dXn，δi(t)=(b)(Xn,δi(t)，vn，δ(t，Xn,δi(t)))dt+σ(Xn,δt(t))dBi(t)，dAn,δi（t)=An,δi（t)(c)（Xn,δi（t)，vn,δ（t，Xn,δi（t)））dt，(4.2.9)vn，δ(t，x)=1/nn

43、Σj=1An，δj(t)pδ(x-Xn，δj（t)），其中i=1，2，……n，給定初始值為Xn,δi(0)=x，An,δi(0)=1.
　　定理4.3.vn，δ(t)到v(t)的收斂被Kδ,T/√n+KT√δ界住。
　　我們注意到上面定理4.3中的KT隨著T增長(zhǎng)是指數(shù)增長(zhǎng)的，于是，逼近誤差會(huì)快速地指數(shù)增長(zhǎng)。為了避免數(shù)值格式的這一缺點(diǎn)，我們引入一個(gè)分支粒子系統(tǒng)來(lái)優(yōu)化粒子在時(shí)間分割點(diǎn)處的權(quán)重。
　　對(duì)固定的δ＞0，∈=n-

44、2α，0＜α＜1，初始存在n個(gè)粒子，每個(gè)粒子的初始位置為Xn,δ,(∈)i(0)，i=1，2，……，n，其是Rd上獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，粒子初始的權(quán)重為1.假定時(shí)間區(qū)間為[0，T]且N*=[T/(∈)]是不大于T/(∈)的最大整數(shù)。定義(∈)(t)=j(∈)對(duì)j(∈)≤t＜(j+1）(∈).在時(shí)間區(qū)間[j(∈)，(j+1）(∈)），j≤N*內(nèi)，有mnj個(gè)粒子存活且它們的位置和權(quán)重如下決定:對(duì)i=1，2，……，mnj，{ Xn,δ，(∈)

45、i(t)=Xn,δ,(∈)i(j(∈))+(b)δ(Xn,δ,(∈)i(j(∈))，Vn，δ,(∈)(j(∈))（t-j(∈)）+σ（Xn,δ,(∈)i(j(∈))）(Bi(t)-Bi(j(∈)）），An,δ,(∈)i(j(∈),t)=exp{-δc(Xn,δ,(∈)i(j(∈)),Vn,δ,(∈)(j(∈))(t-j(∈))},其中初始值定義為:Xn，δ，(∈)i(0)=x，An,δ,(∈)i(0，0)=1，mn0=n.
　　我

46、們定義非正規(guī)化逼近濾波如下:=∫Rdf(x)φ(x)dx,Vn，δ，(∈)(t)=1/nmnjΣl=1δXn,δ,(∈)l(t)，若j(∈)≤t＜(j+1)(∈).
　　我們得到
　　定理4.5.對(duì)任意t(∈)[0，T]，δ＞0，(∈)=n-2α和0＜α＜1/2，存在常數(shù)Kδ使得Eρ21(Vn,δ，(∈)(t)，Vδ(t))≤KTn-(1-2α)+Kδ,Tn-2α.
　　我們定義vn，δ,

47、(∈)(t，x)=1/n∑mnjl=1pδ(x-Xn,δ,(∈)l(t))，即Vn，δ,(∈)(t)的光滑密度，作為v(t，x)的數(shù)值逼近，定義un，δ，(∈)（t,x）=vn，δ，(∈)（T-t，x）作為u(t，x)的數(shù)值逼近。然后，我們有下列推論:
　　推論4.1.對(duì)任意t∈[0，T]，0＜α＜1/2，存在常數(shù)Kδ，使得E| un,δ,(∈)(t，x)-u(t，x)|≤Kδ，T(n-1-2α/2∨n-α)+KT√δ.
　

48、　我們應(yīng)用Euler格式來(lái)逼近FBSDE(4.1.1)中的X(t).定義數(shù)值解(X)n，δ，(∈)(t)滿足:d(X)n,δ,(∈)t=b（(X)n,δ,(∈)(∈)(t)，(u)n，δ,(∈)（(∈)（t)，(X)n,δ,(∈)(∈)(t)））dt+σ（(X)n,δ,(∈)(∈)(t)）dWt.(4.4.27)
　　定理4.6.(X)n，δ，(∈)(t)到X(t)的收斂被Kδ，T(n-(1-2α)∨ n-2α)+KTδ界住。

49、r>　　根據(jù)四步法的結(jié)果，我們定義Yn，δ，(∈)(t)=un，δ，(∈)（t,(X)n，δ，(∈)t）作為FBSDE(4.1.1)中Y(t)的數(shù)值解。我們有下列定理:
　　定理4.7.Yn，δ，(∈)(t)到Y(jié)(t)的收斂被Kδ，T(n-1-2α/2∨n-α+KT√δ界住。
　　4.完全信息和部分信息下正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)保費(fèi)策略
　　4.1.完全信息下最優(yōu)保費(fèi)問(wèn)題
　　考慮一個(gè)保險(xiǎn)公司，其現(xiàn)金余額過(guò)程Xvt滿

50、足{ dXvt=(δtXvt-bt+vt)dt+σtdWt，(5.1.1)Xv0=x0，其決策人的控制策略v在下述意義下是容許的。
　　定義5.1.一個(gè)R值保費(fèi)策略v={vt}0≤t≤T被稱為容許的，如果對(duì)每個(gè)0≤t≤T，vt是FWt-適應(yīng)的且E∫T0v4tdt＜+∞.
　　給狀態(tài)過(guò)程Xvt添加一個(gè)終端約束滿足EX0T=w0.(5.1.2)
　　考慮遞歸效用或風(fēng)險(xiǎn)度量Yvt滿足:{ dYtv=-[AtXvt+Btvt+

51、 Ctbt+DtYtv] dt+ZvtdWt,(5.1.3)YvT=XvT.
　　假設(shè)代價(jià)泛函的形式為J(v)=1/2E{∫T0 e-βt[Lt（Xvt-Ut）2+Ntv2t]dt+ Q(Yv0-R)2+ Me-βT(XvT-w0)2},(5.1.4)其中β是貼現(xiàn)因子，Ut是動(dòng)態(tài)預(yù)設(shè)目標(biāo)，R是遞歸效用的預(yù)設(shè)目標(biāo)，Lt，Nt，M和Q是權(quán)重因子。
　　完全信息下最優(yōu)保費(fèi)問(wèn)題（簡(jiǎn)稱OPFI）陳述如下:
　　問(wèn)題(OPFI).

52、找到u∈uF使得J[u]=infv∈uF J[v]滿足(5.1.1)，(5.1.2)及(5.1.3).
　　該問(wèn)題的主要結(jié)果是如下定理:
　　定理5.1.假設(shè)(H5.1)成立。若ut=-N-1teβt(pt-Bt qt)是問(wèn)題(OPFI)的最優(yōu)保費(fèi)策略，則其可以表示為ut=-eβtN-1t[λ1tXt-(λ2t-Bt)Q(α10x0+α20QR+α30/α20Q+1-R)e∫t0 Dsds+ψt]，(5.1.11)央中(X，

53、Y，Z，p，q，k)，λ1t，λ2t，ψt，α1t，α2t和α3t分別是(5.1.10)，(5.1.15)，(5.1.16)，(5.1.17)，(5.1.21)，(5.1.22)和(5.1.23)的解。
　　定理5.2.假設(shè)(H5.1)成立。則問(wèn)題(OPFI)的最優(yōu)保費(fèi)策略為ut=-eβtN-1t[λ1tXt-（λ2t-Bt）Q(α10x0+α20QR+α30/α20Q+1-R)e∫t0Dsds+ψt]，央中Xt滿足(5.1.24

54、)，λ1t，λ2t，ψt，α1t，α2t和α3t分別是(5.1.15)，(5.1.16)，(5.1.17)，(5.1.21)，(5.1.22)和(5.1.23)的解。此外，在假設(shè)(H5.2)下，最優(yōu)代價(jià)泛函表示為(5.1.35).
　　4.2.部分信息下最優(yōu)保費(fèi)問(wèn)題
　　我們假設(shè)決策者只能從股票上獲得信息，考慮系統(tǒng){dXvt=(δtXvt-bt+vt)dt+σtdWt,dYvt=-(AtXvt+Btvt+Ctbt+DtYtv

55、)dt+ZvtdWt,(5.2.41)Xv0=x0，YvT=XvT和{ d(Svt)=(cXvt-1/2h2t+a)dt+htd(W)t，(5.2.42)Sv0=ln s0，其中現(xiàn)金余額過(guò)程Xvt是潛在因子，其能夠通過(guò)即時(shí)波動(dòng)率為ht的信號(hào)（觀測(cè)）Svt被部分觀測(cè)到。
　　給出一個(gè)容許控制的定義。令u0ad={v|vt是R值(G)t-適應(yīng)的過(guò)程使得E sup0≤t≤T vt2＜+∞}.
　　定義5.2.控制v被稱為容許的，如

56、果u∈u0ad是Gt-適應(yīng)的。容許控制集記為uad.
　　部分信息下最優(yōu)保費(fèi)問(wèn)題(簡(jiǎn)稱OPPI)陳述如下:
　　問(wèn)題(OPPI).尋找(u)∈uad使得J[(u)]=infv∈uadJ[v]滿足(5.2.41)，(5.2.42)和(5.1.2).
　　該問(wèn)題的主要結(jié)果是如下定理:
　　定理5.3.假設(shè)(H5.1)成立。假定u是問(wèn)題(OPPI)的最優(yōu)保費(fèi)策略而(X，Y,Z)是相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)。則FBSDE{-dpt=

57、[e-βtLt（Xt-Ut）+δtpt-Atqt] dt-ktdWt，dqt=Dtqtdt，(5.2.43)pT=θ+Me-βT(XT-w0)-qT，q0=-Q(Y0-R)存在唯一解（p，q，k）∈L2Fw(0，T;R)使得e-βtNt(u)t+E[pt|(G)t]-BtE[qt|(G)t]=0,(5.2.44)其中(G)t△=σ{(S)s:0≤s≤t}.
　　定理5.4.假設(shè)(H5.1)成立。令(u)∈uad滿足e-βt Nt(

58、u)t+E[pt|(G)t]-BtE[qt|(G)t]=0,其中（X，Y,Z，p，q，k）是(5.2.48)的解。則(u)是問(wèn)題(OPPI)的最優(yōu)保費(fèi)策略。
　　定理5.5.假設(shè)(H5.1)成立。若(u)t=eβt N-1t（Bt(q)t-(p)t）是問(wèn)題(OPPI)的最優(yōu)控制，則其可表示為(u)t=-eβtN-1t[λ1t(X)t-(λ2-Bt)Q（α10x0+α20QR+α30/α20Q+1-R）e∫t0 Dsds+ψt]，(

59、5.2.62)其中（(X)，(Y)，(Z)），（(p)，(q)，(k))，α1t，α2t，α3t，λ1t，λ2t和ψt分別是(5.2.56)當(dāng)v=(u)，(5.2.61），(5.1.15)，(5.1.16),(5.1.17),(5.1.21),(5.1.22)和(5.1.23)的解。
　　定理5.6.假設(shè)(H5.1)和(H5.3)成立。則問(wèn)題(OPPI)的最優(yōu)保費(fèi)策略為(u)t=-eβtN-1t[λ1t(X)t-(λ2-Bt)Q（