基于μ基的曲面隱式化、參數化和奇異點計算.pdf

1、在計算機輔助幾何設計(Computer Aided Geometric Design，CAGD)中，曲線和曲面有兩種基本的表示方法：參數形式與隱式形式。這兩種表示方式在實際應用中有著各自的優(yōu)缺點，例如：參數形式在圖形的繪制上很有優(yōu)勢，且得到的曲線曲面易于調控，這點在工業(yè)設計中十分重要。另一方面，隱式形式易于判斷空間其它點與這個曲線(面)的位置關系。如果我們同時擁有這兩種表現形式，將對曲線(面)求交等其它應用很有意義。
　　 在幾

2、何造型領域，人們通常會根據具體的問題選擇其中一種表示方法，因此曲線(面)的這兩種表示形式之間的相互轉換成為人們所關心的問題，即參數形式的隱式化和隱式形式的參數化問題。在理論上已經證明了任何參數表示的有理曲線(面)都一定可以轉化為隱式表示，但是反過來并不總是成立。常見的隱式化方法有結式方法、Groebner基方法、吳方法、插值方法等。但這些方法在有效性、通用性、計算復雜度方面有著各自的局限。而由Sederberg，陳發(fā)來等人提出的動曲線(

3、曲面)方法以及從它發(fā)展起來的μ基理論在有效性、通用性、和計算復雜度等方面顯示了相當的優(yōu)勢，且其可以作為聯系兩種形式的橋梁，方便地得到兩種形式(如果可以參數化)。
　　 本文將在已有的研究結果的基礎上，以計算代數幾何與動曲面方法為研究工具，對低次曲面的隱式化和參數化進行研究，并給出了有理參數曲面上奇異點的計算方法。最后討論了一般的張量積曲面隱式化的通用框架。
　　 在第二章中，我們討論了曲面上奇異點的階數和動平面的關系，為

4、我們后面幾章中計算低次曲面上的奇異點提供了基礎。同時，我們也給出了一般有理參數曲面上的奇異點的計算方法。
　　 在第三章和第四章，我們系統(tǒng)地研究了參數二次曲面的隱式化和參數化，及其上奇異點的計算方法。而聯系這些內容的關鍵是關于參數變元是一次的動平面(或弱μ基)。從參數形式，我們可以易得其弱弘基，有了弱弘基，我們可以輕松地得到隱式方程。并且從弱μ基出發(fā)，可以簡單地得到曲面的逆公式和曲面奇異點的計算。反過來，從曲面的隱式形式出發(fā)，通