畢業(yè)論文--時滯項可微系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性條件

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計）</p><p>　　題 目：時滯項可微系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性條件</p><p>　　學(xué) 院： 自動化工程學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè)： 自動化 </p><p>　　姓

2、 名： XXX </p><p>　　指導(dǎo)教師： XXX </p><p>　　2013年 6 月 1 日</p><p>　　Delay-dependent Stability Criteria for Systems with Dif

3、ferentiable Time Delays</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文研究了帶有可微時變時滯的連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。通過使用時滯導(dǎo)數(shù)的信息，本文給出了時滯系統(tǒng)的改進的漸近穩(wěn)定性。與以前的研究方法不同的是，本文考慮了時滯導(dǎo)數(shù)上界，即使這種時滯導(dǎo)數(shù)的上界大于等于1?？梢宰C明取得的結(jié)果要比現(xiàn)有結(jié)論保守性更低。同時，因為涉及較少

4、的決策變量，本文所展示穩(wěn)定判據(jù)的計算復(fù)雜程度大大降低。用MATLAB證實了所得穩(wěn)定條件的有效性和更低的保守性。</p><p>　　關(guān)鍵字 時滯相關(guān)穩(wěn)定條件 線性矩陣不等式（LMI） 時滯系統(tǒng)</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　This paper studies the problem of stabi

5、lity for continuous-time systems with differentiable time-varying delays. By using the information of delay derivative, improved asymptotic stability conditions for time-delay systems are presented. Unlike the previous m

6、ethods, the upper bound of the delay derivative is taken into consideration even if this upper bound is larger than or equal to 1. It is proved that the obtained results are less conservative than the existing ones. Mean

7、while, the computatio</p><p>　　Keywords Delay-dependent stability condition linear matrix inequality (LMI) time-delay systems</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　前

8、 言2</b></p><p>　　第1章 緒 論4</p><p>　　1.1 時滯系統(tǒng)的相關(guān)介紹4</p><p>　　1.2 時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析基本方法4</p><p>　　1.3 時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題與展望5</p><p>　　1.4 SCHUR補的相關(guān)知識補充5</

9、p><p>　　1.4.1 Schur補的定義5</p><p>　　1.4.2 Schur引理5</p><p>　　1.5 本文的主要研究工作5</p><p>　　1.6 文中的符號說明6</p><p>　　1.7 小 結(jié)6</p><p>　　第2章 LMI工具箱介紹

10、7</p><p>　　2.1 線性矩陣不等式及相關(guān)術(shù)語7</p><p>　　2.2 線性矩陣不等式的確定9</p><p>　　2.3 線性矩陣不等式求解器16</p><p>　　第3章 時滯項可微系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性條件21</p><p>　　3.1 主要結(jié)果21</p>&

11、lt;p>　　3.2 與現(xiàn)有結(jié)果的聯(lián)系27</p><p>　　3.3數(shù)值算例34</p><p><b>　　3.4 結(jié)論35</b></p><p><b>　　結(jié)束語36</b></p><p><b>　　謝 辭37</b></p>&l

12、t;p><b>　　參考文獻38</b></p><p>　　附錄 仿真程序40</p><p><b>　　前 言</b></p><p>　　從系統(tǒng)理論的觀點看，任何實際系統(tǒng)的過去狀態(tài)不可避免地要對當(dāng)前的狀態(tài)產(chǎn)生影響，即系統(tǒng)的演化趨勢不僅依賴于系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，也依賴于過去某一時刻或若干時刻的狀態(tài)，這類系統(tǒng)

13、稱為時滯系統(tǒng)。時滯產(chǎn)生的原因有很多，如：系統(tǒng)變量的測量(復(fù)雜的在線分析儀)、長管道進料或皮帶傳輸、緩慢的化學(xué)反應(yīng)過程等都會產(chǎn)生時滯。時滯常見于電路、光學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物環(huán)境及醫(yī)學(xué)、建筑結(jié)構(gòu)、機械等領(lǐng)域，由于應(yīng)用背景廣泛，受到很多學(xué)者的關(guān)注。從理論分析的角度來看，在連續(xù)域中，時滯系統(tǒng)是一個無窮維的系統(tǒng)，特征方程是超越方程，有無窮多個特征根，而在離散域中，時滯系統(tǒng)的維數(shù)隨時滯的增加按幾何規(guī)律增長，這給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計帶來了很大的

14、困難。因此，對于時滯系統(tǒng)的控制問題，無論在理論還是在工程實踐方面都具有極大的挑戰(zhàn)性。</p><p>　　常見的時滯系統(tǒng)包括奇異時滯微分系統(tǒng)、脈沖時滯微分系統(tǒng)、Lurie時滯系統(tǒng)、中立型時滯系統(tǒng)和隨機時滯系統(tǒng)等。</p><p>　　系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題是控制理論界的重要課題。若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程（輸出）隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的

15、能力，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定。鎮(zhèn)定問題源于穩(wěn)定性問題，當(dāng)受控系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋(或者輸出反饋),使的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,這樣的問題稱為鎮(zhèn)定問題。</p><p>　　早在 20 世紀(jì) 50 年代，就有很多學(xué)者開始研究時滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性問題和控制問題，其研究方法大致可分為頻域方法和時域方法。在早期主要是頻域方法，通過分析其特征方程根的分布以及Lyapunov矩陣函數(shù)的解，給出時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)和控制器設(shè)計的相應(yīng)準(zhǔn)則。頻域方法

16、在單輸入輸出的定常時滯系統(tǒng)方面已經(jīng)取的了一些很好的結(jié)果。但是，對于多輸入輸出的時滯系統(tǒng)和時變時滯系統(tǒng)，用頻域方法就很難得到結(jié)論。因此，相應(yīng)的時域方法就得到發(fā)展，主要有Lyapunov－Krasovskii泛函方法和Razumikhin函數(shù)方法。這兩種方法的基本思想都是構(gòu)造Lyapunov－Krasovskii泛函或Lyapunov函數(shù)，然后對其求導(dǎo)，使其導(dǎo)數(shù)小于零，得到穩(wěn)定性判據(jù)和控制器設(shè)計基本準(zhǔn)則。這是由Krasovskii和Razu

17、mikhin所分別創(chuàng)造的，現(xiàn)已成為分析時滯系統(tǒng)鎮(zhèn)定性和控制器設(shè)計的主要方法。尤其是在 20 世紀(jì) 90 年代，隨著Riccati方程和Matlab中LMI( 線性矩陣不等式)的發(fā)展，更使這兩種方法得到了廣泛的應(yīng)用，這其中，有兩類成果備受關(guān)注: 一類是時滯無關(guān)條件，一類是時滯相關(guān)條件。在 90 年代初</p><p>　　本文提出了消除時滯導(dǎo)數(shù)上界限制的新方法，同時給出了時滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件。可以證明，新結(jié)果比現(xiàn)

18、有結(jié)果具有更低的保守性。同時，得到的穩(wěn)定判據(jù)有更少的決策變量，所以在數(shù)學(xué)上更簡便，并且計算上更有效。在結(jié)果保守性不變的條件下，本文也給出了簡化由加權(quán)矩陣和廣義系統(tǒng)方法得到的時滯相關(guān)穩(wěn)定條件的方法。</p><p><b>　　第1章 緒 論</b></p><p>　　1.1 時滯系統(tǒng)的相關(guān)介紹</p><p>　　從系統(tǒng)理論的觀點看，任何實

19、際系統(tǒng)的過去狀態(tài)不可避免地要對當(dāng)前的狀態(tài)產(chǎn)生影響，即系統(tǒng)的演化趨勢不僅依賴于系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，也依賴于過去某一時刻或若干時刻的狀態(tài)，這類系統(tǒng)稱為時滯系統(tǒng)。時滯產(chǎn)生的原因有很多，如：系統(tǒng)變量的測量(復(fù)雜的在線分析儀)、長管道進料或皮帶傳輸、緩慢的化學(xué)反應(yīng)過程等都會產(chǎn)生時滯。時滯常見于電路、光學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物環(huán)境及醫(yī)學(xué)、建筑結(jié)構(gòu)、機械等領(lǐng)域，由于應(yīng)用背景廣泛，受到很多學(xué)者的關(guān)注。從理論分析的角度來看，在連續(xù)域中，時滯系統(tǒng)是一個無窮維的系統(tǒng)，

20、特征方程是超越方程，有無窮多個特征根，而在離散域中，時滯系統(tǒng)的維數(shù)隨時滯的增加按幾何規(guī)律增長，這給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計帶來了很大的困難。因此，對于時滯系統(tǒng)的控制問題，無論在理論還是在工程實踐方面都具有極大的挑戰(zhàn)性。</p><p>　　常見的時滯系統(tǒng)包括奇異時滯微分系統(tǒng)、脈沖時滯微分系統(tǒng)、Lurie時滯系統(tǒng)、中立型時滯系統(tǒng)和隨機時滯系統(tǒng)等。</p><p>　　1.2 時滯系統(tǒng)穩(wěn)

21、定性的分析基本方法</p><p>　　縱觀時滯系統(tǒng)的研究和發(fā)展，有兩條主要研究途徑，即時域方法和頻域方法兩大類。頻域分析方法利用Smith預(yù)估、變結(jié)構(gòu)控制等方法設(shè)計控制器，并利用Nyquist圖等頻域分析手段判斷系統(tǒng)參數(shù)在一定范圍攝動條件下閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。這一類設(shè)計只適用于定常不確定系統(tǒng)或慢時變系統(tǒng)。時滯系統(tǒng)的時域分析方法越來越成為時滯系統(tǒng)尤其是不確定時滯系統(tǒng)（包括系統(tǒng)矩陣的參數(shù)不確定性以及時滯本身的不確定性）

22、穩(wěn)定性分析以及控制器綜合的主要方法。時域分析方法克服了頻域分析不能處理時變和參數(shù)攝動的不足，而且具有方法簡單、易于計算等優(yōu)點，使其在實際工程應(yīng)用中更加具有優(yōu)勢。近年來有關(guān)不確定時滯系統(tǒng)的結(jié)論基本上都是用時域的分析方法取得的。時域方法用得最多的是Lyapunov直接設(shè)計方法。利用Lyapunov第二方法對時滯系統(tǒng)的研究主要是通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)來求解時滯系統(tǒng)的無記憶反饋控制律，這是設(shè)計時變及不確定時滯系統(tǒng)魯棒控制器的有效途徑

23、?；贚yapunov方法的無記憶反饋控制器不但設(shè)計簡便，在線計算量少，因而近年來受到很多學(xué)者重視。利用Lyapunov方法對時滯系統(tǒng)的研究結(jié)果可以分為兩大類：時滯無關(guān)結(jié)果和時滯相關(guān)結(jié)</p><p>　　1.3 時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題與展望</p><p>　　1)目前有關(guān)時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析結(jié)果很多，但是進行控制器設(shè)計時，只在個別情況下才會得到線性矩陣不等式(LMI)，多數(shù)情況下得到的是

24、多項式矩陣不等式(PMI)或雙線性矩陣不等式(BMI)。如何將多項式矩陣不等式轉(zhuǎn)化為LMI，或者在無法轉(zhuǎn)化成LMI時，如何對其利用優(yōu)化方法進行求解，是今后繼續(xù)努力的方向．目前發(fā)展起來的多項式優(yōu)化理論有望為這一問題提供系統(tǒng)化方法。</p><p>　　2)如何得到計算復(fù)雜性低，同時保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則是未來的努力方向。其中Lyapunov－Krasovskii泛函的適當(dāng)選取，尤其是參數(shù)依賴的Lyapunov泛函的

25、選取，將對結(jié)果的保守性產(chǎn)生積極影響，這方面還有大量的工作有待進行。</p><p>　　3)基于線性矩陣不等式的穩(wěn)定性準(zhǔn)則在保守性方面難于比較，至少看起來不直觀．原因是線性矩陣不等式在矩陣維數(shù)、變量及變量個數(shù)方面有所不同。如何進一步尋求系統(tǒng)化方法進行相關(guān)分析，這方面的工作很有意義。</p><p>　　4)近年有關(guān)時滯的討論多數(shù)集中在線性系統(tǒng)，有關(guān)非線性時滯系統(tǒng)的討論則較少(當(dāng)然也有例外)

26、，而實際系統(tǒng)往往是非線性的，這也是進一步努力的方向之一。</p><p>　　5)近年來對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、無線通訊網(wǎng)絡(luò)、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的研究蓬勃興起，因網(wǎng)絡(luò)中的信息必須通過通信網(wǎng)絡(luò)分時傳送，不可避免地在控制環(huán)路中引入了通訊延遲(時滯)，消除時滯對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響是備受關(guān)注的問題，是推動時滯系統(tǒng)進一步研究發(fā)展的動力。</p><p>　　1.4 Schur補的相關(guān)知識補充</p>

27、;<p>　　1.4.1 Schur補的定義  分塊矩陣M表示為。 如果A可逆，則M的Schur補定義為； 如果D可逆，則M的Schur補定義為。 </p><p>　　1.4.2 Schur引理  分塊矩陣M表示為。 a. 如果A可逆，則M>0等價為A>0且M的Schur補為正定； 

28、b. 如果D可逆，則M>0等價位D>0且M的Schur補為正定。 </p><p>　　1.5 本文的主要研究工作</p><p>　　本文提出了消除時滯導(dǎo)數(shù)上界限制的新方法，同時給出了時滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件?？梢宰C明，新結(jié)果比現(xiàn)有結(jié)果具有更低的保守性。同時，得到的穩(wěn)定判據(jù)有更少的決策變量，所以在數(shù)學(xué)上更簡便，并且計算上更有效。在結(jié)果保守性不變的條件下 ，本文也給

29、出了簡化由加權(quán)矩陣和廣義系統(tǒng)方法得到的時滯相關(guān)穩(wěn)定條件的方法。</p><p>　　1.6 文中的符號說明</p><p><b>　　維實向量空間；</b></p><p><b>　　維實矩陣空間；</b></p><p><b>　　矩陣的轉(zhuǎn)置；</b></p&g

30、t;<p>　　矩陣的歐氏范數(shù)，即；</p><p><b>　　為正定對稱矩陣；</b></p><p><b>　　為半正定對稱矩陣；</b></p><p>　　具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣；</p><p><b>　　矩陣中的對稱部分。</b></p&g

31、t;<p><b>　　1.7 小 結(jié)</b></p><p>　　在實際的工業(yè)生產(chǎn)過程和自然科學(xué)過程中，時滯現(xiàn)象的存在是不可避免的。特別是電力系統(tǒng)、機械傳輸系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)以及城市交通管理系統(tǒng)中，時滯現(xiàn)象的存在對系統(tǒng)造成的影響是不可忽略的。所以在分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及跟蹤控制問題時，考慮時間延遲對系統(tǒng)的影響是非常重要的。</p><p>　　第2章

32、LMI工具箱介紹</p><p>　　線性矩陣不等式(LMI)工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的一個高性能軟件包。由于其面向結(jié)構(gòu)的線性矩陣不等式表示方式，使的各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩陣的形式加以描述。一個線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來對這個問題進行數(shù)值求解。</p><p>　　LMI工具箱提供了確定、處理和數(shù)值求解線性矩陣不等式的一些工具

33、，它們主要用于：</p><p>　　● 以自然塊矩陣形式來直接描述線性矩陣不等式；</p><p>　　● 獲取關(guān)于現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)的信息；</p><p>　　● 修改現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)；</p><p>　　● 求解三個一般的線性矩陣不等式問題；</p><p><b>　　● 驗證結(jié)果。

34、</b></p><p>　　本章將詳細介紹LMI工具箱提供的用于解決以上各個問題的相關(guān)函數(shù)和命令。</p><p>　　2.1 線性矩陣不等式及相關(guān)術(shù)語</p><p>　　一個線性矩陣不等式就是具有以下一般形式的一個矩陣不等式：</p><p><b>　　(2-1)</b></p>&l

35、t;p>　　其中：，，是給定的對稱常數(shù)矩陣，是未知變量，稱為決策變量，是由決策變量構(gòu)成的向量，稱為決策向量。</p><p>　　盡管表達式(1)是線性矩陣不等式的一個一般形式，但在大多數(shù)實際應(yīng)用中，線性矩陣不等式常常不是以一般表示式(1)的形式出現(xiàn)，而是具有以下形式：</p><p>　　其中的和是矩陣變量的仿射函數(shù)，通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運算，上式可以寫成線性矩陣不等式的一般表示式(1)

36、的形式。例如，在系統(tǒng)穩(wěn)定性問題中經(jīng)常遇到的Lyapunov矩陣不等式</p><p><b>　　(2-2)</b></p><p>　　也是一個線性矩陣不等式，其中的是一個矩陣變量。我們以一個二階矩陣為例，將矩陣不等式(2)寫成一般表示式(1)的形式。針對二階矩陣不等式(2)，對應(yīng)的矩陣變量是一個二階的對稱矩陣，，不等式(2)中的決策變量是矩陣中的獨立元。根據(jù)對策性

37、，矩陣變量可以寫成</p><p>　　將矩陣和上式代入矩陣不等式(2)，經(jīng)整理，可得</p><p><b>　　(2-3)</b></p><p>　　這樣就將矩陣不等式(2)寫成了線性矩陣不等式的表示式(1)。顯然，與Lyapunov矩陣不等式(2)相比，表示式(3)缺少了許多控制中的直觀意義。另外，(3)式涉及到的矩陣也比(2)式中的多

38、。如果矩陣是n階的，則(3)式中的系數(shù)矩陣一般有n(n+1)/2個。因此，這樣的表達式在計算機中將占用更多的存儲空間。由于這樣的一些原因，LMI工具箱中的函數(shù)采用線性矩陣不等式的結(jié)構(gòu)表示。例如，Lyapunov矩陣不等式(2)就以矩陣變量的不等式來表示，而不是用其一般形式(3)來表示。</p><p>　　一般的，一個線性矩陣不等式具有塊矩陣的形式，其中每一個塊都是矩陣變量的仿射函數(shù)。以下通過一個例子來說明有關(guān)描

39、述一個線性矩陣不等式的術(shù)語。</p><p>　　考慮控制中的一個線性矩陣不等式：</p><p>　　其中：、、、、是給定的矩陣，和是問題的變量。</p><p>　　● 稱為外因子，塊矩陣</p><p>　　稱為內(nèi)因子。外因子可以不是一個正方矩陣，它在許多問題中常常不出現(xiàn)。</p><p>　　● 和是問題的矩陣

40、變量。注意標(biāo)量也可以看成是一個維的矩陣。</p><p>　　● 內(nèi)因子是一個對稱塊矩陣。根據(jù)對稱性，可以由對角線及其上方的塊矩陣完全確定。</p><p>　　● 中的每一塊都是矩陣變量和的仿射函數(shù)。這一函數(shù)由常數(shù)項和變量項這兩類基本項組成，其中常數(shù)項就是常數(shù)矩陣或以一些常數(shù)矩陣組成的算術(shù)表達式，例如中的B和D；變量項是包含一個矩陣變量的項，例如等。</p><p&g

41、t;　　一個線性矩陣不等式不論多么復(fù)雜，都可以通過描述其中每一塊的各項內(nèi)容來確定這個線性矩陣不等式。</p><p>　　2.2 線性矩陣不等式的確定</p><p>　　LMI工具可以處理具有以下一般形式的線性矩陣不等式：</p><p>　　其中：是具有一定結(jié)構(gòu)的矩陣變量，左、右外因子和是具有相同維數(shù)的給定矩陣，左、右內(nèi)因子和是具有相同塊結(jié)構(gòu)的對稱塊矩陣。&l

42、t;/p><p>　　注意在線性矩陣不等式的描述中，左邊總是指不等式較小的一邊，例如對線性矩陣不等式>0，稱為是不等式的右邊，0稱為是不等式的左邊，常表示成0<。</p><p>　　要確定一個線性矩陣不等式系統(tǒng)，需要做以下兩步：</p><p>　　給出每個矩陣變量的維數(shù)和結(jié)構(gòu)；</p><p>　　描述每一個線性矩陣不等式中各個項

43、的內(nèi)容。</p><p>　　這個過程產(chǎn)生所描述線性矩陣不等式系統(tǒng)的一個內(nèi)部表示，它以一個單一向量的形式儲存在計算機內(nèi)，通常用一個名字，例如lmisys來表示。該內(nèi)部表示lmisys可以在后面處理這個線性矩陣不等式時調(diào)用。</p><p>　　下面將通過LMI工具箱中的一個例子來說明線性矩陣不等式系統(tǒng)的確定。運行l(wèi)midem可以看到這個例子的完整描述。</p><p&g

44、t;　　例1：考慮一個具有4個輸入、4個輸出和6個狀態(tài)的穩(wěn)定傳遞函數(shù)</p><p><b>　　(2-4)</b></p><p>　　和一組具有以下塊對角結(jié)構(gòu)的輸入/輸出尺度矩陣：</p><p><b>　　(2-5)</b></p><p>　　則在具有時變不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析中提出

45、了以下問題：</p><p>　　尋找一個具有結(jié)構(gòu)(5)的尺度矩陣，使的。</p><p>　　可以證明：這樣一個問題可以轉(zhuǎn)化成一個線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問題，既尋找兩個對稱矩陣和，使的</p><p><b>　　(2-6)</b></p><p><b>　　(2-7)</b></p&

46、gt;<p><b>　　(2-8)</b></p><p>　　用命令lmivar和lmiterm給出線性矩陣不等式系統(tǒng)(6)~(8)的內(nèi)部描述如下：</p><p>　　setlmis([])</p><p>　　x=lmivar(1,[6 1])</p><p>　　s=lmivar(1,[2 0;

47、2 1])</p><p>　　% 1st LMI </p><p>　　lmiterm([1 1 1 x],1,A,'s')</p><p>　　lmiterm([1 1 1 s],c',c)</p><p>　　lmiterm(1 1 2 x],1,B)</p><p>　　lmiterm

48、(1 2 2 s],-1,1) </p><p>　　% 2nd LMI </p><p>　　lmiterm([-2 1 1 x],1,1)</p><p><b>　　% 3rd LMI</b></p><p>　　lmiterm([-3 1 1 s],1,1)</p><p>　　lmit

49、erm([3 1 1 0],1)</p><p>　　lmisys=getlmis </p><p>　　其中：函數(shù)lmirar定義了兩個矩陣變量和，lmiterm則描述了每一個線性矩陣不等式中各項的內(nèi)容。getlmis回到了這個線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示lmisys，lmisys也稱為是儲存在機器內(nèi)部的線性矩陣不等式系統(tǒng)的名稱。以下將詳細介紹這幾個函數(shù)的功能和用法。</p>

50、<p>　　setlmis和getlmis</p><p>　　一個線性矩陣不等式系統(tǒng)的描述以setlmis開始，以getlmis結(jié)束。當(dāng)要確定一個新的系統(tǒng)時，輸入：</p><p>　　setlmis([])</p><p>　　如果需要將一個線性矩陣不等式添加到一個名為lmiso的現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)中，則輸入：</p><

51、p>　　setlmis(lmiso)</p><p>　　當(dāng)線性矩陣不等式系統(tǒng)被完全確定好后，輸入：</p><p>　　lmisys=getlmis</p><p>　　該命令返回這個線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示lmisys。</p><p><b>　　lmivar</b></p><p&g

52、t;　　函數(shù)lmivar用來描述出現(xiàn)在線性矩陣不等式系統(tǒng)中的矩陣變量，每一次只能描述一個矩陣變量。矩陣變量的描述包括該矩陣變量的結(jié)構(gòu)。該函數(shù)的一般表達式是：</p><p>　　x=lmivar(type,struct)</p><p>　　這一函數(shù)定義了一個新的矩陣變量，是該矩陣變量的變量名。函數(shù)中的第一個輸入量type確定了矩陣變量的類型，第二個輸入量struct進一步根據(jù)變量的類型給

53、出該變量的結(jié)構(gòu)。變量的類型分成三類：</p><p>　　Type=1：對稱塊對角結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)對應(yīng)于具有以下形式的矩陣變量：</p><p>　　其中對角線上的每一個矩陣塊是方陣，它可以是零矩陣、對稱矩陣或者數(shù)量矩陣。這種結(jié)構(gòu)也包含了通常意義的對稱矩陣和數(shù)量矩陣（分別相當(dāng)于只有一塊）。此時，struct是一個維的矩陣。如果該矩陣的第i行是(m，n)，則其中的m表示對稱矩陣塊的階數(shù)，而n只

54、能取1、0或者-1，其中n=1表示是一個滿的對稱矩陣（或者無結(jié)構(gòu)的對稱矩陣），n=0表示是一個數(shù)量矩陣，n=-1表示是一個零矩陣。</p><p>　　Type=2：長方形結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)對應(yīng)于任意的長方矩陣。此時，srtuct=(m，n)表示矩陣的維數(shù)。</p><p>　　Type=3：其他結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)用來描述更加復(fù)雜的矩陣，也可以用于描述矩陣變量之間的一些關(guān)聯(lián)。的每一個元或者是0，或

55、者是，其中是第n個據(jù)側(cè)變量。相應(yīng)的，struct是一個和變量有相同維數(shù)的矩陣，其中的每一個元取值如下：</p><p>　　例2：考慮具有三個矩陣變量、和的線性矩陣不等式系統(tǒng)，其中</p><p>　　● 是一個33維的對稱矩陣；</p><p>　　● 是一個24維 的長方矩陣；</p><p>　　● 其中是55維的對稱矩陣，和是兩個標(biāo)量

56、，</p><p>　　表示22維的單位矩陣。</p><p>　　可以應(yīng)用lmivar來定義這些矩陣變量。</p><p>　　setlmis([])</p><p>　　x1=lmivar(1,[3 1])</p><p>　　x2=lmivar(2,[2 4])</p><p>　　x3=

57、lmivar(1,[5 1;1 0;2 0])</p><p><b>　　lmiterm</b></p><p>　　在確定了矩陣變量之后，還需要確定每一個線性矩陣不等式中各項的內(nèi)容。線性矩陣不等式的項指構(gòu)成這個線性矩陣不等式的塊矩陣中的加項。這些項可以分成三類：</p><p><b>　　常數(shù)項；</b></p

58、><p>　　變量項，即包含了矩陣變量的項，例如(3)式中的和。一般的變量項具有形式，其中的是一個變量，和是給定的矩陣，分別稱為該變量項的左系數(shù)和右系數(shù)；</p><p><b>　　外因子。</b></p><p>　　在描述一個具有多個塊的線性矩陣不等式時，LMI工具箱提供了這樣的功能，即只需要確定對角線上和對角線上方的項的內(nèi)容，或者只描述對角

59、線上和對角線下方的項的內(nèi)容，其他部分項的內(nèi)容可以根據(jù)線性矩陣不等式的對稱性得到。</p><p>　　用命令lmiterm每次可以確定線性矩陣不等式的一個項的內(nèi)容。例如，對稱性矩陣不等式</p><p>　　可以用一下一組命令來描述：</p><p>　　lmiterm([1 1 1 x],1,A,'s')</p><p>　

60、　lmiterm([1 1 1 s],c',c)</p><p>　　lmiterm([1 1 2 x],1,B)</p><p>　　lmiterm([1 2 2 s],-1,1)</p><p>　　這些命令一次描述了項、、和。在每一條命令中，第1項是一個四元向量，它刻畫了所描述的項所在的位置和特征；</p><p>　　● 第1

61、個元表示所描述的項屬于哪一個線性矩陣不等式。值m表示第m個</p><p>　　不等式的左邊，-m表示第m個不等式的右邊。</p><p>　　● 第2和3個元表示所描述的項所在塊的位置。例如，向量[1 1 2 1]表示所</p><p>　　描述的項位于第一個線性矩陣不等式左邊內(nèi)因子的塊(1,2)中。第2和第</p><p>　　3個元均取

62、零表示所描述的項在外因子中。</p><p>　　● 最后一個元表明了所描述的項是常數(shù)項還是變量項。如果是變量項，則</p><p>　　進一步說明涉及哪一個變量。0表示常數(shù)項，k表示所描述的項包含第k</p><p>　　個矩陣變量，-k則表示包含矩陣變量的轉(zhuǎn)置（在例1中，</p><p>　　是第1個變量，s是第2個變量，它們按確定的先后

63、順序排列）。</p><p>　　lmiterm的第2項和第3項包含了數(shù)據(jù)（常數(shù)項的值，外因子，變量項或者中的左、右系數(shù)）。第4項是可選擇的，且只能是's'。</p><p>　　在描述項的內(nèi)容里，有一些簡化的方法。</p><p><b>　　零塊可以省略描述；</b></p><p>　　可以通過在命

64、令lmiterm中外加一個分量's'，使的可以只用一個命令lmiterm就能描述一個變量項與該變量項的轉(zhuǎn)置的和。例如，上面的第一個命令描述了。</p><p>　　可以用一個標(biāo)量值來表示一個數(shù)量矩陣，即用表示數(shù)量矩陣，其中是一個標(biāo)量。如例1中的第3個不等式被描述成</p><p>　　lmiterm([-3 1 1 s],1,1)</p><p>　

65、　lmiterm([3 1 1 0],1)</p><p>　　為了便于閱讀，也可以用線性矩陣不等式和矩陣變量的名稱來表示對應(yīng)的線性矩陣不等式和矩陣變量。矩陣變量的變量名可以用命令lmivar來賦值，線性矩陣不等式的名稱則可以用函數(shù)newlmi來確定。這些標(biāo)識符可以用在命令lmiterm中以表示相應(yīng)的線性矩陣不等式或者矩陣變量。對例1中的線性矩陣不等式系統(tǒng)，采用名稱的相應(yīng)描述如下：</p><

66、p>　　setlmis([])</p><p>　　x=lmivar(1,[6 1])</p><p>　　s=lmivar(1,[2 0;2 1])</p><p>　　BRL=newlmi</p><p>　　lmiterm([BRL 1 1 x],1,A,'s')</p><p>　　lmi

67、term([BRL 1 1 s],c',c)</p><p>　　lmiterm([BRL 1 2 x],1,B)</p><p>　　lmiterm([BRL 2 2 s],-1,1)</p><p>　　Xpos=newlmi</p><p>　　lmiterm([-Xpos 1 1 x],1,1)</p><

68、p>　　slmi=newlmi</p><p>　　lmiterm(-Slmi 1 1 s],1,1)</p><p>　　lmiterm(Slmi 1 1 0],1)</p><p>　　lmisys=getlmis</p><p>　　其中：X和S分別表示變量和，而BRL、Xpos和Slmi則分別表示第1、第2和第3個線性矩陣不等式

69、。-Xpos指的是第2個線性矩陣不等式的右邊，-X表示變量的轉(zhuǎn)置。</p><p><b>　　lmiedit</b></p><p>　　線性矩陣不等式編輯器lmiedit是一個圖形用戶界面，它可以按符號方式直接確定線性矩陣不等式系統(tǒng)。輸入</p><p><b>　　lmiedit</b></p><

70、;p>　　出現(xiàn)一個具有一些可編輯文本區(qū)域和各種按鈕的窗戶。按以下步驟來確定一個線性矩陣不等式系統(tǒng)：</p><p>　　1. 在文本區(qū)域的上半部分給出每一個矩陣變量的描述（名字和結(jié)構(gòu)），其機構(gòu)是通過類型（S表示對稱塊矩陣，R表示無結(jié)構(gòu)的長方矩陣，G表示其他機構(gòu)矩陣）和一個“附加”的結(jié)構(gòu)矩陣（類似于lmivar中的struct）來刻畫的。在文本編輯區(qū)，使用一行描述一個變量。</p><p&

71、gt;　　2. 在文本區(qū)的下半部分，按MATLAB的表示方式給出要描述的線性矩陣不等式。例如，線性矩陣不等式</p><p><b>　　可以通過輸入</b></p><p>　　來描述。其中X是文本區(qū)上半部分描述矩陣變量的變量名。一個線性矩陣不等式的描述可能需要幾行，但一行中最多只能描述一個線性矩陣不等式。</p><p>　　完成了線性矩陣

72、不等式系統(tǒng)的描述后，可以通過按相應(yīng)的按鈕來完成以下的任務(wù)：</p><p>　　● 顯示用于描述線性矩陣不等式的lmivar/lmiterm命令串（按鈕view commands）；反之，通過單擊按鈕describe...可以將用一串lmivar/lmiterm</p><p>　　命令定義的線性矩陣不等式系統(tǒng)按MATLAB表示式顯示。 </p><p>　　● 將

73、線性矩陣不等式的符號描述存為一個MATLAB語句串（按鈕save）。以后可以通過按鈕load重新顯示這種描述。</p><p>　　● 可以從一個文件讀一串lmivar/lmiterm命令（按鈕read），然后通過單擊 “describe the matrix variables”或者“describe the LMIs...”顯示出由這些命令確定的線性矩陣不等式系統(tǒng)的符號表示。</p><p

74、>　　● 寫一串用于描述一個特殊線性矩陣不等式系統(tǒng)的lmivar/lmiterm命令（按鈕write）。</p><p>　　● 通過按鈕creat產(chǎn)生線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示，結(jié)果用一個線性矩陣不等式命名的MATLAB變量記錄（如果線性矩陣不等式系統(tǒng)名字是mylmi，則其內(nèi)部表示用MATLAB變量mylmi記錄）。內(nèi)部表示mylmi可以被線性矩陣不等式求解器或者任何其他的線性矩陣不等式函數(shù)調(diào)用。<

75、;/p><p>　　如同命令lmiterm一樣，可以應(yīng)用簡捷的方法來輸入線性矩陣不等式的表示式。例如零塊可以簡單地輸入0，而不必定義其維數(shù)，類似地，單位矩陣只需輸入字符1等。</p><p>　　lmiedit盡管很一般，但是它沒有l(wèi)miterm靈活。以下是lmiedit的一些局限性：</p><p>　　● 在矩陣變量的兩邊不能使用括號。例如當(dāng)X是一個變量名時， (A

76、*X+B)'*C+C'*(A*C+B)是不允許的，而(A+B)'*X+X'*(A+B)則是可以的。</p><p>　　● 不允許出現(xiàn)循環(huán)和條件語句。</p><p>　　● 當(dāng)把lmiterm命令轉(zhuǎn)換成一個線性矩陣不等式的符號描述時，如果lmiterm的第1個分量不能確認就將出錯。使用由newlmi和lmivar提供的線性矩陣不等式和變量標(biāo)識符可以避免這樣

77、的問題。</p><p>　　圖2.1給出了用lmiedit描述例1中的線性矩陣不等式系統(tǒng)的窗口。</p><p>　　圖2.1 lmiedit的圖形界面</p><p>　　2.3 線性矩陣不等式求解器</p><p>　　LMI工具箱提供了用于求解以下三個問題的線性矩陣不等式求解器(其中表示決策變量向量，即矩陣變量中的獨立變元構(gòu)成的向量

78、)。</p><p><b>　　● 可行性問題：</b></p><p>　　尋找一個xrnn(或者等價的：具有給定結(jié)構(gòu)的矩陣)，使?jié)M足線性矩陣的不等式系統(tǒng)</p><p>　　相應(yīng)的求解器是feasp。</p><p>　　● 具有線性矩陣不等式約束的一個線性目標(biāo)函數(shù)的最小化問題：</p><p&

79、gt;<b>　　s.t. </b></p><p>　　相應(yīng)的求解器是mincx。</p><p>　　● 廣義特征值的最小化問題：</p><p><b>　　s.t.</b></p><p>　　相應(yīng)的求解器是gevp。</p><p>　　以下詳細介紹feasp求解器

80、的功能和使用方法。</p><p><b>　　feasp</b></p><p>　　求解器feasp的一般表達式如下：</p><p>　　[tmin,xfeas]=feasp(lmisys,options,target)</p><p>　　求解器feasp是通過求解如下的一個輔助凸優(yōu)化問題</p>

81、<p><b>　　min</b></p><p><b>　　s.t.</b></p><p>　　來求解該線性矩陣不等式系統(tǒng)lmisys的可行性問題。</p><p>　　這個凸優(yōu)化問題的全局最優(yōu)值用tmin表示，作為求解器feasp輸出的第一個分量。如果tmin<0，則系統(tǒng)lmisys是可行的。當(dāng)系統(tǒng)

82、lmisys為可行時，求解器feasp輸出的第二個分量xfeas給出了線性矩陣不等式系統(tǒng)決策變量的一個可行解。進而，應(yīng)用dec2mat可以得到系統(tǒng)lmisys矩陣變量的一個可行解。</p><p>　　求解器feasp的輸入變量target為min設(shè)置了目標(biāo)值，使的只要tmin<target，則優(yōu)化迭代過程就結(jié)束。Target=0是feasp的默認值。</p><p>　　可選擇的輸

83、入量options是一個5維向量，它用來描述優(yōu)化迭代過程中的一些控制參數(shù)：</p><p>　　●options(1)：該分量不用。</p><p>　　●options(2)：該參數(shù)設(shè)定優(yōu)化迭代工程中允許的最大迭代次數(shù)(該參數(shù)的默認值是100)。</p><p>　　●options(3)：該參數(shù)設(shè)定了可行域的半徑。options(3)=R>0表示限制決策變

84、量在球體</p><p>　　中，或者說向量xfeas的歐式范數(shù)不超過。該參數(shù)的默認值是。</p><p>　　可行域半徑的設(shè)定可以避免產(chǎn)生具有很大數(shù)值的解x，同時也可以加快計算過程，改進數(shù)值穩(wěn)定性。</p><p>　　●options(4)：該參數(shù)用于加快迭代過程的結(jié)束，它提供了反映優(yōu)化過程中迭代速度和解的精度之間的一個折中指標(biāo)。當(dāng)該參數(shù)取值為一個正整數(shù)時，表示

85、在最后的次迭代中，如果每次迭代后的減小幅度不超過1%，則優(yōu)化迭代過程就停止。該參數(shù)的默認值是10。</p><p>　　●options(5)：options(5)=1表示不顯示迭代過程中的數(shù)據(jù)，options(5)=0(默認值)則相反。</p><p>　　將options(i)設(shè)置為零相當(dāng)于將相應(yīng)的控制參數(shù)設(shè)置為默認值，也可以通過忽略該輸入變量來接受默認值。</p>&l

86、t;p>　　例3：求滿足的矩陣，使的</p><p><b>　　(2-9)</b></p><p><b>　　(2-10)</b></p><p><b>　　(2-11)</b></p><p><b>　　其中：</b></p>

87、<p><b>　　,,</b></p><p>　　為了調(diào)用feasp，我們首先確定線性矩陣不等式系統(tǒng)：</p><p>　　setlmis([])</p><p>　　p=lmivar(1,[2 1])</p><p>　　lmiterm([1 1 1 p],1,A1,’s’) %LMI

88、 #1</p><p>　　lmiterm([2 1 1 p],1,A2,’s’) %LMI#2</p><p>　　lmiterm([3 1 1 p],1,A3,’s’) %LMI#3</p><p>　　lmiterm([-4 1 1p],1,1) %LMI#4:p</p><p&

89、gt;　　lmiterm([4 1 1 0],1) %LMI#4:I</p><p>　　lmis=getlmis</p><p>　　然后調(diào)用feasp來求該現(xiàn)行矩陣不等式系統(tǒng)的一個可行決策變量：</p><p>　　[tmin,xfeas]=feasp(lmis)</p><p>　　得到tmin=-3.13

90、63。因此，線性矩陣不等式系統(tǒng)lmis是可行的。應(yīng)用dec2mat</p><p>　　pp=dec2mat(lmis,xfeas,p)</p><p>　　得到問題的可行矩陣變量值：</p><p>　　在求解這個可行性問題的過程中，也可以附加一些約束，例如，要求矩陣的Frobenius范數(shù)不超過10，且tmin-1。也可以通過調(diào)用</p><

91、p>　　[tmin,xfeas]=feasp(lmis,[0,0,10,0,0],-1)</p><p>　　來達到這些附加要求。相應(yīng)的結(jié)果是tmin=-1.1745，相應(yīng)的矩陣P的最大特征值是。</p><p>　　如何從決策變量到矩陣變量以及從矩陣變量到?jīng)Q策變量</p><p>　　當(dāng)現(xiàn)行矩陣不等式由相應(yīng)的矩陣變量描述時，線性矩陣不等式求解器涉及的是由這些

92、矩陣變量中的獨立元所組成的決策向量x。兩個函數(shù)mat2dec和dec2mat可以實現(xiàn)這兩種變量之間的轉(zhuǎn)換。</p><p>　　考慮一個具有三個矩陣變量、、的線性矩陣不等式系統(tǒng)。給定這些變量的特定值X1、X2、X3，那么由mat2dec可以得到相應(yīng)的決策向量的值：</p><p>　　xdec=mat2dec(lmisys,x1,x2,x3)</p><p>　　如

93、果lmisys后分量的個數(shù)和線性矩陣不等式系統(tǒng)lmisys中的矩陣變量個數(shù)不符，則系統(tǒng)會提示一個出錯信息。</p><p>　　這個函數(shù)在線性矩陣不等式求解器mincx或gevp的初始化中也是很有用的。例如，給定、、的一個初始猜測值，mat2dec就形成了相應(yīng)決策向量的初始值xinit。</p><p>　　反之，給定決策向量的一個值xdec，那么可以通過函數(shù)dec2mat給出相應(yīng)的第k個

94、矩陣的取值。例如，一下的表示式可以給出第2個矩陣變量的取值：、</p><p>　　x2=dec2mat(lmisys,xdec,2)</p><p>　　函數(shù)dec2mat中的最后一個分量表明了要求的是第2個矩陣變量，這里也可以用lmivar定義的相應(yīng)矩陣變量的變量名。</p><p>　　矩陣變量和決策變量的總數(shù)分別由matnbr和decnbr給出。另外，函數(shù)d

95、ecinfo提供了決策變量和矩陣變量之間關(guān)系的一些詳細信息。</p><p>　　第3章 時滯項可微系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性條件</p><p><b>　　3.1 主要結(jié)果</b></p><p>　　在這一節(jié)，分析時變時滯連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并利用時滯導(dǎo)數(shù)相關(guān)李雅普諾夫函數(shù)得到了一個充分條件。</p><p><b

96、>　　考慮下面線性系統(tǒng)</b></p><p><b>　?。?-1）</b></p><p><b>　　（3-2）</b></p><p>　　其中，是狀態(tài)變量， 是適當(dāng)維數(shù)的常量矩陣，時滯項是時變連續(xù)函數(shù)并且滿足</p><p><b>　?。?-3）</b&

97、gt;</p><p>　　和 （3-4）</p><p>　　其中是常數(shù)。初始條件()是連續(xù)的向量值函數(shù)。</p><p>　　在之前的文章中，例如[3]和[6]，時滯導(dǎo)數(shù)的上界應(yīng)該小于1。雖然[7-8]中的結(jié)果可以應(yīng)用到的情況，其穩(wěn)定條件

98、與時滯導(dǎo)數(shù)上界無關(guān)。</p><p>　　對于(3-1)~( 3-4)所描述的時滯系統(tǒng)，式</p><p><b>　　（3-5）</b></p><p>　?。ㄆ渲校?）常被作為李雅普諾夫函數(shù)（例如[6-7],[11]）。但是，如果，則這一項就是冗余的，因為</p><p><b>　　其中。</b&g

99、t;</p><p>　　這說明時滯項的導(dǎo)數(shù)沒有考慮進去，這顯然是不合理的。</p><p>　　實際上，時滯導(dǎo)數(shù)大于等于1的情況是很普遍的。例如，在網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)里，時滯項表示,其中是采樣時刻。所以，這一類時滯幾乎在時處處滿足。</p><p>　　對于的情況下，如果選擇了一個正數(shù)滿足，則有 </p><p><b>　?。?-6

100、）</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　?。?-7） </b></p><p>　　所以此時，項的導(dǎo)數(shù)考慮了進去。</p><p>　　在此事實基礎(chǔ)上，可獲得一下定理。 </p><p>　　定理

101、1 對于給定標(biāo)量（滿足），如果存在矩陣</p><p><b>　　，使</b></p><p><b>　　（3-8）</b></p><p>　　那么，(3-1)~( 3-4)所描述的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。其中，</p><p>　　證明 構(gòu)造一個李雅普諾夫函數(shù)</p><

102、p><b>　?。?-9）</b></p><p>　　其中，是需要確定的矩陣。</p><p>　　根據(jù)萊布尼茨-牛頓公式，以下等式對于任何維數(shù)合適的矩陣和</p><p><b>　　都是成立的： </b></p><p><b>　　（3-10）</b></p

103、><p><b>　?。?-11）</b></p><p><b>　　（3-12）</b></p><p><b>　?。?-13）</b></p><p><b>　?。?-14）</b></p><p><b>　　其中

104、</b></p><p>　　或者，以下等式正確：</p><p><b>　?。?-15）</b></p><p><b>　　（3-16）</b></p><p><b>　?。?-17）</b></p><p>　　對，取沿著（3-1）

105、的軌跡的時間導(dǎo)數(shù)，可得</p><p><b>　　(3-18)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　通過Schur補可得，不等式</p><p><b>　　與下式等價</b></p><p><b>　　(

106、3-19)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　所以，如果成立，，則對于所有, 有成立。</p><p>　　記 ， （3-20）</p><p><b>　　其中<

107、/b></p><p>　　且是非奇異的，所以當(dāng)時有。</p><p>　　相反地，如果成立，則通過(20)可以看出也成立如果令</p><p>　　所以，當(dāng)且僅當(dāng)成立時成立。</p><p>　　注釋1 定理1基于線性矩陣不等式（LMIs）給出了一個新的穩(wěn)定判據(jù)，而且這個判據(jù)與已有的用于普通時滯系統(tǒng)的判據(jù)不同。它的創(chuàng)新性體現(xiàn)在兩個方面

108、。第一，利用了時滯導(dǎo)數(shù)的信息，即使時滯導(dǎo)數(shù)的上界不滿足小于1的條件。第二，通過牛頓-萊布尼茨公式引入的加權(quán)矩陣，通過式(3-20)都在最終的穩(wěn)定判據(jù)中被消除。與現(xiàn)存的結(jié)論相比較，定理1有較少的決策變量，所以在數(shù)學(xué)與計算方面更簡便有效。</p><p>　　注釋2 定理1展示了單時滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件。利用定理1中提出的理論，我們也可以得到多時滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件。</p><p>　　對于

109、的情況，我們可以直接從定理1得到以下推論。</p><p>　　推論1 對于給定標(biāo)量和（且滿足），如果存在矩陣</p><p><b>　　使</b></p><p><b>　?。?-21）</b></p><p>　　成立，那么，(1)~(4)所描述的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。其中，</p>

110、<p>　　3.2 與現(xiàn)有結(jié)果的聯(lián)系</p><p>　　在上一部分中，提出了系統(tǒng)(3-1)～(3-4)的基于LMI的時滯相關(guān)的穩(wěn)定條件。下面，我們將要證明[3]，[7]和[8]中得到的穩(wěn)定條件比定理1中具有更大的保守性。另外，與[11]相比，[3]中的結(jié)論可以被進一步簡化。</p><p>　　為了便于比較，[8]中的結(jié)論被列為一下幾個引理：</p><

111、p>　　引理1 對于給定標(biāo)量和，如果存在矩陣</p><p>　　和，使以下線性矩陣不等式成立，</p><p><b>　　(3-22)</b></p><p>　　那么，線性系統(tǒng)(3-1)~( 3-4)是漸近穩(wěn)定的。其中，</p><p>　　下面，我們將證明定理1比引理1具有更低的保守性。</p>

112、<p>　　定理2 如果不等式(3-22)成立，則不等式(3-8)也是成立的。</p><p>　　證明 如果不等式(3-22)成立，則存在一個充分小正數(shù)，使</p><p><b>　　(3-23)</b></p><p>　　其中，在(3-22)中已被定義。令(3-19)中的</p><p>　　，

113、且，則根據(jù)Schur補引理（3-19）式與等價。所以，（3-19）式也成立。因（3-8）式與（3-19）等價，所以這說明（3-8）式也成立。</p><p>　　接下來，為比較[7]中所述穩(wěn)定性結(jié)果和本文的推論1，需要以下引理。</p><p>　　引理2 如果Z是正定矩陣，是對稱矩陣，如果都具有合適的維數(shù)，且是正實數(shù)，則存在一個對稱陣,使</p><p><

114、;b>　?。?-24）</b></p><p>　　且 （3-25）</p><p><b>　　成立的充要條件是</b></p><p>　　。 （3-26）</

115、p><p>　　證明（必要性）由式（3-25），我們可以得到</p><p><b>　?。?-27）</b></p><p>　　從（3-24）可以看出，是負定矩陣，且</p><p><b>　?。?-28）</b></p><p>　　所以，根據(jù)Schur補引理可以得到，式

116、（3-26）成立。</p><p>　　（充分性）如果式（3-26）成立，令并利用Schur補引理，式（3-24）與式（3-26）等價，且</p><p><b>　　（3-29）</b></p><p>　　所以，式（3-25）成立。</p><p>　　現(xiàn)在，我們把[7]中的定理2重列如下，</p>&

117、lt;p>　　引理3 ，如果存在正定陣，半正定陣，和任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣和，使</p><p><b>　?。?-30）</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　?。?-31）</b></p><p>　　成立，（其中）則系統(tǒng)(3-1)

118、~( 3-4)是漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　下面的定理表明推論1中的穩(wěn)定條件比引理3中的穩(wěn)定條件具有更低的保守性。</p><p>　　定理3 如果不等式（3-30）和（3-31）成立，則不等式（3-21）也成立。</p><p>　　證明 根據(jù)引理2，滿足式（3-31）條件下，不等式（3-30）與下式等價</p><p><b&

119、gt;　　（3-32）</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　與式（3-20）相似，不等式（3-32）與下式等價</p><p><b>　?。?-33）</b></p><p><b>　　其中。</b></p>&

120、lt;p>　　所以，由式（3-33）可以看出，存在一個充分小的正數(shù)，使下式成立</p><p><b>　?。?-34）</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　令,根據(jù)Schur補引理，可以從式（3-34）看出不等式（3-21）是成立的。</p><p>　　

121、最后，為說明[3]和本文推論1中的穩(wěn)定條件的聯(lián)系，我們把[3]中的引理1重列如下。</p><p>　　引理4 給定和，如果存在矩陣和</p><p>　　滿足以下線性矩陣不等式（LMI）:</p><p><b>　?。?-35）</b></p><p>　　且