實(shí)際測度下風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià)模型研究.pdf

1、自Black&Scholes(1973)([1])和Merton(1974)([2])以來，關(guān)于金融風(fēng)險(xiǎn)的模型研究有了長足的發(fā)展。其中以連續(xù)市場風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)的模型研究最受關(guān)注。連續(xù)市場風(fēng)險(xiǎn)模型除了威廉·夏普的資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)外，無套利定價(jià)模型應(yīng)用更為廣泛，如StephenA.Ross的套利定價(jià)理論和Black-Scholes(1973)的期權(quán)定價(jià)理論。信用風(fēng)險(xiǎn)模型主要分為三類，結(jié)構(gòu)模型(structuremodel)如[2

2、，3，4，5]，簡約模型(reduced-formmodel)如[6，7，8，9，10]和不完全信息模型(incompleteinformationmodel)如[11，12，13]。除了一些統(tǒng)計(jì)模型如[14，15]，現(xiàn)有文獻(xiàn)中研究風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)的模型大多數(shù)依賴于風(fēng)險(xiǎn)中性測度的存在，這是無套利定價(jià)體系的一個(gè)關(guān)鍵假設(shè)。這給實(shí)際應(yīng)用帶來了一些不便，其一，風(fēng)險(xiǎn)中性測度的存在要求市場是無套利的，這一點(diǎn)很難滿足，其二，如果模型的參數(shù)不能滿足測度變換時(shí)的

3、不變性，則利用歷史數(shù)據(jù)校正風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的模型參數(shù)就比較困難，其三，無套利定價(jià)要求資產(chǎn)的可交易性，所以對于不可交易的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如保險(xiǎn)公司的保單)，這一理論不易直接套用。因此一些學(xué)者開始試著在實(shí)際測度下定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，如[16，17，18]。他們指出了風(fēng)險(xiǎn)中性測度和實(shí)際測度間的等價(jià)關(guān)系，但研究結(jié)果最終還是通過風(fēng)險(xiǎn)中性測度表示的。 為了進(jìn)一步發(fā)展風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)理論，本文利用倒向隨機(jī)微分方程研究實(shí)際測度下風(fēng)險(xiǎn)證券的定價(jià)，包括 ·無違

4、約證券在無風(fēng)險(xiǎn)利率存在時(shí)的定價(jià)； ·無違約證券在無風(fēng)險(xiǎn)利率不存在或難以獲得時(shí)的定價(jià)； ·不含市場風(fēng)險(xiǎn)的違約證券的定價(jià)，包括離散情況和連續(xù)情況； ·一般違約證券的定價(jià)，也分為離散支付和連續(xù)支付兩種情況； ·一般違約證券基于無違約可交易證券的定價(jià)。 最后給出了基于無違約可交易證券的違約證券定價(jià)公式的推廣形式，并且證明這一定價(jià)在一定條件下是可以獲得完全保值的。這些定價(jià)模型基于共同的原理：證券的價(jià)格應(yīng)該等

5、于其未來現(xiàn)金流的折現(xiàn)，這里稱為時(shí)間-風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)，而折現(xiàn)率依賴于無風(fēng)險(xiǎn)利率和證券所包含的風(fēng)險(xiǎn)需要的補(bǔ)償。為了度量風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)拇笮。覀円肓孙L(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格概念，包括信用風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格和連續(xù)市場風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格。這兩個(gè)價(jià)格可以通過證券市場數(shù)據(jù)來估計(jì)，[17，18]等文獻(xiàn)曾對這兩個(gè)價(jià)格進(jìn)行了計(jì)算。所以我們假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格已知，如果無風(fēng)險(xiǎn)利率存在，則假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率也是已知的。而單位風(fēng)險(xiǎn)用不同的隨機(jī)過程來表示，簡單地用一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動表示市場風(fēng)險(xiǎn)，用

6、Poisson過程表示違約風(fēng)險(xiǎn)，并假設(shè)Poisson過程在離散情況下的違約概率或連續(xù)情況下的強(qiáng)度過程是已知的。結(jié)合證券的現(xiàn)金流我們可以求得任何無違約證券在到期T前任意時(shí)刻的價(jià)格： pdf=E[∫tTbsexp{-∫tsrudu-∫tsηuWdWu-1/2∫ts(ηuW)2du}ds+exp{-∫tTrsds-∫tTηsWdWs-1/2∫tT(ηsW)2ds}ξ|Ft],(A)t∈[0,T]其中過程ηW代表市場風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格，r代

7、表無風(fēng)險(xiǎn)利率，(b，ξ)為持有該證券期間的現(xiàn)金流和到期T時(shí)的償付。如果我們已知一個(gè)無違約可交易證券Z的價(jià)格過程{dZ(t)=Z(t)[μz(t)dt+σz(t)dWt],(0≤t＜≤T')Z(0)=z0(＞0)則所求證券的價(jià)格可表示為(A)t∈[0，T]pdfz=E(∫tTbsexp{-∫tsμz(u)du+∫tsηuWσz(u)du-∫tsηuWdWu-1/2∫ts(ηuW)2du}ds+ξexp{-∫tTμz(s)ds+∫tTηsW

8、σz(s)ds-∫tTηsWdWs-1/2∫tT(ηsW)2ds}|Ft)而對于違約證券，如果進(jìn)一步知道證券的違約回復(fù)，則不含市場風(fēng)險(xiǎn)的違約證券價(jià)格為：V(t,ω)=1(τ＞t)[∫tT(bs-cs-ηN(s,ωs))exp{-∫ts(ru-ηN(u,ωu))du}ds+Xexp{-∫tT(ru-ηN(u,ωu))du}]其中b，c分別代表該證券連續(xù)支付的利息和違約回復(fù)，(η)N代表調(diào)整后的違約風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格。類似地我們還求得一般違約證券

9、的價(jià)格過程： Vt=1(r＞t)E[∫(t,T)(bs-cs-ηsN)exp{-∫tsrudu-∫tsηuWdWu-1/2∫ts(ηuW)2du+∫tsηuNdu}ds|Ft]+1(τ＞t)E[Xexp{-∫tTrudu-∫tTηuWdWu-1/2∫tT(ηuW)2du+∫tTηuNdu}|Ft]此外我們還討論了離散情況下違約證券的定價(jià)和當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率不存在時(shí)違約證券的定價(jià)，具體結(jié)果將在正文中給出。 概括起來，本文研究的模

10、型具有以下特點(diǎn)： 一.證券定價(jià)公式都是在實(shí)際測度下給出的，便于模型參數(shù)的校正。 二.定價(jià)公式本身有著明顯的經(jīng)濟(jì)解釋，反映了風(fēng)險(xiǎn)對證券價(jià)格的影響，滿足同風(fēng)險(xiǎn)同收益原理。 三.文中給出的資產(chǎn)價(jià)值還滿足資本最小化原理，并且當(dāng)市場滿足無套利條件時(shí)，可交易證券的價(jià)值是無套利價(jià)格。 四.文中的定價(jià)模型并不需要證券的波動率是已知的，它可以通過計(jì)算，與資產(chǎn)價(jià)值一起得到，所以這里給出的是隱含波動率，它反映了單位風(fēng)險(xiǎn)對證券價(jià)

11、格變動的影響程度。我們并不關(guān)心他與通常意義下的波動率取值是否一致，因?yàn)橛貌▌勇屎饬匡L(fēng)險(xiǎn)也只不過是對風(fēng)險(xiǎn)的一種度量方法，并非風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)含義。也就是說，我們舍棄了利用波動率去衡量風(fēng)險(xiǎn)的思想，而是給出由實(shí)際證券價(jià)格反映出來的風(fēng)險(xiǎn)影響。 五.既然這里主要利用倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)表達(dá)證券的價(jià)格過程，就存在該方程解的存在問題。如果利用BSDE解的存在唯一性條件求解，所得的解只能是唯一的，也就只能反映完全市場下的價(jià)值，考慮到大多數(shù)情況