誤差的基本性質(zhì)與處理

1、第2章　誤差的基本性質(zhì)與處理,,,本章闡述。,教學(xué)目標(biāo),,三大類(lèi)誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類(lèi)誤差對(duì)測(cè)量精度影響的措施 掌握等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法 掌握不等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法,重點(diǎn)與難點(diǎn),,,,2.1 隨機(jī)誤差 一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因 二、隨機(jī)誤差的分布及其特性 三、算術(shù)平均值 四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法 六、測(cè)量的極限誤差 七、不等精度測(cè)量 八、隨機(jī)

2、誤差的其他分布 九、減小隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑2.2 系統(tǒng)誤差 一、研究系統(tǒng)誤差的重要意義 二、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因,三、系統(tǒng)誤差的分類(lèi)和特征 四、系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響 五、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 六、系統(tǒng)誤差的消除2.3 粗大誤差 一、粗大誤差產(chǎn)生的原因 二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則 三、防止與消除粗大誤差的方法2.4 測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例 一、等精度測(cè)量數(shù)

3、據(jù)處理 二、不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)處理2.5 三類(lèi)誤差性質(zhì)與特征小結(jié),第二章　誤差的基本性質(zhì)與處理,當(dāng)對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量時(shí)，得到一系列不同的測(cè)量值（常稱(chēng)為測(cè)量列），每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒(méi)有確定的規(guī)律，即前一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測(cè)下一個(gè)數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律?！　　?隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：　　　 ① 測(cè)量裝置

4、方面的因素　　　 ② 環(huán)境方面的因素　　　 ③ 人為方面的因素,零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等。,溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng)變化等。,瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)取?第一節(jié)　隨機(jī)誤差,一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因,隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來(lái)分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的特性?！　　≡O(shè)被測(cè)量值的真值為　，一系列測(cè)得值為　，則測(cè)量列的隨機(jī)

5、誤差　可表示為：(2-1)　 式中　　　　　　　。 正態(tài)分布的分布密度　　與分布函數(shù)　　為(2-2) (2-3)　 式中：σ——標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）　　　 e——自然對(duì)數(shù)的底，基值為2.7182……。 它的數(shù)學(xué)期望為 (2-4) 它的方差為：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2-5),,,,,,,,第一節(jié)　隨機(jī)誤

6、差,二、正態(tài)分布,其平均誤差為：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2-6)　此外由　　　　　　　可解得或然誤差為 ： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2-7)　由式（2-2）可以推導(dǎo)出：　　?、?有 　　　　, 　　　　 可推知分布具有對(duì)稱(chēng)性，即絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱(chēng)為誤差的對(duì)稱(chēng)性；　　?、?當(dāng)δ=0時(shí)有 　　　 ，即 　　　　，可推知單峰性，即絕對(duì)值

7、小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱(chēng)為誤差的單峰性；　　?、?雖然函數(shù)　　的存在區(qū)間是[-∞,+∞]，但實(shí)際上，隨機(jī)誤差δ只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即[-kσ,+kσ],稱(chēng)為誤差的有界性；　　?、?隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零：　　　 這稱(chēng)為誤差的補(bǔ)償性。,,,,,,,返回本章目錄,,,從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有的四個(gè)特征：對(duì)稱(chēng)性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差

8、理論中占有十分重要的地位。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，ρ值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測(cè)量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。 (一)算術(shù)平均值的意義 設(shè) 為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為:

9、(2-8),第一節(jié)　隨機(jī)誤差,三、算術(shù)平均值,下面來(lái)證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。 即 由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知 ，因此 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測(cè)量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱(chēng)之為最大或然值）被

10、認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測(cè)量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測(cè)量的真值。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱(chēng)為殘余誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)殘差：(2-9) 此時(shí)可用更簡(jiǎn)便算法來(lái)求算術(shù)平均值 。任選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù) 作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值 與 的差值：(2-10) 式中

11、的 為簡(jiǎn)單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡(jiǎn)單。,若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量 ，即滿足無(wú)偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,例 2-1 測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見(jiàn)表2-1，求算術(shù)平均值。 　　　　　　　　　　　　　　　　解：任選參考值　 =1879.65，

12、 計(jì)算差值 和 列于表 很容易求得算術(shù)平均值 ?。?1879.64 ?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。ǘ┧阈g(shù)平均值的計(jì)算校核　　算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來(lái)校核?！　　?由　　　　

13、　　　　　　 　，式中的　是根據(jù)（2-8）計(jì)算的，當(dāng)求得的　為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有： (2-11)　　　殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來(lái)校核算術(shù)平均值及其殘余誤差計(jì)算的正確性。但當(dāng)實(shí)際得到的為經(jīng)過(guò)湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在,,,,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,舍入誤差Δ，即有： 　　　　成立。而　　經(jīng)過(guò)分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為： 　　　①殘差代數(shù)和應(yīng)符合：　　　當(dāng)　　　　　，求得

14、的　為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，　　為零；　　　當(dāng)　　　　　，求得的　為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，　　為正，其大小為求　時(shí)的余數(shù)；　　　當(dāng)　　　　　，求得的　為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，　　為負(fù)，其大小為求　時(shí)的虧數(shù)。 　　?、跉埐畲鷶?shù)和絕對(duì)值應(yīng)符合：　　　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，　　　??；　　　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，　　　　　　?！∈街械腁為實(shí)際求得的算術(shù)平均值　末位數(shù)的一個(gè)單位?！　　?以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實(shí)際運(yùn)算情況選擇一種進(jìn)行校核，但大多數(shù)情況選用第二

15、種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測(cè)得值之和。,,,,,,,,,,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,例2-2 用例2-1數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 解：因n為偶數(shù)，　　　 A＝0.01，由表2-1知 　　　　　　　　　故計(jì)算結(jié)果正確。　　　 例2-3 測(cè)量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進(jìn)行校核?！　　?解：算術(shù)平均值　為：　　　 取　＝2000.067,,,

16、,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,用第一種規(guī)則校核，則有：用第二種規(guī)則校核，則有：故用兩種規(guī)則校核皆說(shuō)明計(jì)算結(jié)果正確。,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,（一）均方根誤差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）σ 為什么用σ來(lái)作為評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度？可以從高斯（正態(tài)）分布的分布密度 推知： 令 ，則有： 高斯參數(shù)h為精密度。由于h值無(wú)法以實(shí)驗(yàn)中得到，故以σ值代之。,第一節(jié)　

17、隨機(jī)誤差,四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差,由于σ值反映了測(cè)量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此σ值可作為隨機(jī)誤差的評(píng)定尺度。σ值愈大，函數(shù) 減小得越慢；σ值愈小， 減小得愈快，即測(cè)量到的精密度愈高，如圖2-2所示。 標(biāo)準(zhǔn)差σ不是測(cè)量到中任何一個(gè)具體測(cè)量值的隨機(jī)誤差，σ的大小只說(shuō)明，在一定條件下等精度測(cè)量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測(cè)得值的隨機(jī)誤差δ，一般都不等于σ，但卻認(rèn)為這一系列測(cè)量列中所有測(cè)得值

18、都屬于同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差σ的概率分布。在不同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,（二）或然誤差ρ 測(cè)量列的或然誤差ρ，它將整個(gè)測(cè)量列的n個(gè)隨機(jī)誤差分為個(gè)數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個(gè)）隨機(jī)誤差的數(shù)值落在-ρ— +ρ范圍內(nèi)，而另一半隨機(jī)誤差的數(shù)值落在-ρ— +ρ范圍以外： ，查 表，得到 時(shí)，z=0.6745，故有 其實(shí)際意義

19、是：若有n個(gè)隨機(jī)誤差，則有n/2個(gè)落在區(qū)間[-ρ,+ρ]之內(nèi)，而另外n/2個(gè)隨機(jī)誤差則落在此區(qū)間之外。（三）算術(shù)平均誤差θ 測(cè)量列算術(shù)平均誤差θ的定義是：該測(cè)量列全部隨機(jī)誤差絕對(duì)值的算術(shù)平均值，用下式表示： 由概率積分可以得到θ與σ的關(guān)系： 目前世界各國(guó)大多趨于采用σ作為評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度。這是因?yàn)椋?① σ的平方恰好是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一（方差），σ本身又,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,恰好是高斯誤差

20、方程 式中的一個(gè)參數(shù)，即 ，所以采用σ，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合； ② σ對(duì)大的隨機(jī)誤差很敏感，能更準(zhǔn)確地說(shuō)明測(cè)量列的精度； ③ 極限誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系簡(jiǎn)單： ； ④ 公式推導(dǎo)和計(jì)算比較簡(jiǎn)單。五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法 （一）等精度測(cè)量到單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算1、見(jiàn)塞爾(Bessel)公式 (2-13) 式中，

21、 稱(chēng)為算術(shù)平均值誤差將它和 代入上式，則有(2-14),第一節(jié)　隨機(jī)誤差,將上式對(duì)應(yīng)相加得 ： ，即(2-15)若將式(2-14)平方后再相加得：(2-16)將式(2-15)平方有：當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為 趨近于零，并將代入式(2-16)得：(2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即(2-18),第一節(jié)　隨

22、機(jī)誤差,2、別捷爾斯法 由貝賽爾公式得： 進(jìn)一步得： 則平均誤差有： 由式2-6得：故有： (2-26) 此式稱(chēng)為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘余誤差 的絕對(duì)值之和求出單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 ，而

23、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 為：(2-27),,,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,例2-4 用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：計(jì)算得到的值分別填于表中，因此有3、極差法

24、 用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余誤差，然后進(jìn)行其他運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜。當(dāng)要求簡(jiǎn)便迅速,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,算出標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可用極差法。 若等精度多次測(cè)量測(cè)得值 服從正態(tài)分布，在其中選取最大值 與最小值 ，則兩者之差稱(chēng)為極差：(2-28) 根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望為(2-29) 因 故可得 的無(wú)偏估

25、計(jì)值，若仍以 表示，則有(2-30) 式中 的數(shù)值見(jiàn)表2-4。,,,,,n,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20,1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17

26、 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,例2-5 仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。 解：4、最大誤差法 在某些情況下，我們可以知道被測(cè)量的真值或滿足規(guī)定精度的用來(lái)代替真值使用的量值（稱(chēng)為實(shí)際值或約定值），因而能夠算出隨機(jī)誤差 ，取其中絕對(duì)值最大的一個(gè)值 ，當(dāng)各個(gè)獨(dú)立測(cè)量

27、值服從正態(tài)分布時(shí)，則可求得關(guān)系式：(2-31) 一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不能按（2-31）式求標(biāo)準(zhǔn)差，應(yīng)按最大殘余誤差 進(jìn)行計(jì)算，其關(guān)系式為：(2-32) 式（2-31）和（2-32）中兩系數(shù) 、 的倒數(shù)見(jiàn)表2-5。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,最大誤差法簡(jiǎn)單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當(dāng) 時(shí)，最大誤差法具有一定精度。 例2-6 仍用表2-3的測(cè)

28、量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，則有，而 故標(biāo)準(zhǔn)差為,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,例2-7 某激光管發(fā)出的激光波長(zhǎng)經(jīng)檢定為 ，由于某些原因未對(duì)次檢定波長(zhǎng)作誤差分析，但后來(lái)又用更精確的方法測(cè)得激光波長(zhǎng) ，試求原檢定波長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：因后測(cè)得的波長(zhǎng)是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測(cè)得值為實(shí)際波長(zhǎng)(或約定真值)，則原檢定波長(zhǎng)的隨機(jī)誤差 為： 故標(biāo)準(zhǔn)差為：

29、 5、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn) ① 貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開(kāi)方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)化測(cè)量的需要； ② 別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍； ③ 用極差法計(jì)算σ，非常迅速方便，可用來(lái)作為校對(duì)公式，當(dāng)n<10時(shí)可,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,用來(lái)計(jì)算σ，此時(shí)

30、計(jì)算精度高于貝氏公式； ④ 用最大誤差法計(jì)算σ更為簡(jiǎn)捷，容易掌握，當(dāng)n<10時(shí)可用最大誤差法，計(jì)算精度大多高于貝氏公式，尤其是對(duì)于破壞性實(shí)驗(yàn)(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。（二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 在多次測(cè)量的測(cè)量列中，是以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。 如果在相同條件下對(duì)同一量值作多組重復(fù)的系列測(cè)量，每一系列測(cè)量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于

31、隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測(cè)量的真值有一定的分散，此分散說(shuō)明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測(cè)量的各個(gè)獨(dú)立測(cè)量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。 由式(2-8)已知算術(shù)平均值 為： 取方差得 因 故有,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,所以(2-21) 即在n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量

32、標(biāo)準(zhǔn)差的 ，當(dāng)n愈大，算術(shù)平均值越接近被測(cè)量的真值，測(cè)量精度也愈高。 增加測(cè)量次數(shù)，可以提高測(cè)量 精度，但測(cè)量精度是與n的平方根成 反比，因此要顯著提高測(cè)量精度， 必須付出較大的勞動(dòng)。由圖2-3可知, σ一定時(shí)，當(dāng)n>10以后， 的減小很 慢。此外，由于增加測(cè)量次數(shù)難以 保證測(cè)量條件的恒定，從而引入新的 誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜。總之，提高測(cè)

33、量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,評(píng)定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應(yīng)公式為： (2-22)(2-23) 若用殘余誤差表示上述公式，則有：(2-24)(2-25) 例2-8 用游標(biāo)卡尺對(duì)某一尺寸測(cè)量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下

34、(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 解：本例題中的測(cè)量數(shù)據(jù)與表2-3中的測(cè)量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值為 。因?yàn)?，,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,與表中的 結(jié)果一致，故計(jì)算正確。 根據(jù)上述各個(gè)誤差計(jì)算公式可得：

35、六、測(cè)量的極限誤差 測(cè)量的極限誤差是極端誤差，測(cè)量結(jié)果（單次測(cè)量或測(cè)量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過(guò)該極端誤差的概率為p，并使差值（1-p）可予忽略。（一）單次測(cè)量的極限誤差 測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)足夠多和單次測(cè)量誤差為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,率論知識(shí)，正態(tài)分布曲線和橫坐標(biāo)軸間所包含的面積等于其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即： 當(dāng)研究誤差落在區(qū)間（-δ,+δ）之間的概率時(shí)，則得：

36、(2-33) 將上式進(jìn)行變量置換，設(shè) 經(jīng)變換，上式成為：(2-34) 這樣我們就可以求出積分值p，為了應(yīng)用方便，其積分值一般列成表格形式，稱(chēng)為概率函數(shù)積分值表。當(dāng)t給定時(shí)，φ(t)值可由該表查出。現(xiàn)已查出t=1,2,3,4等幾個(gè)特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2φ(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率p’=1-2φ(t)，如表2-6所示（圖2－4）。 由表可以看出，隨著t的

37、增大，超出|δ|的概率減小得很快。 當(dāng),第一節(jié)　隨機(jī)誤差,t=2，即|δ|=2σ時(shí)，在22次測(cè)量中只有1次 的誤差絕對(duì)值超出2σ范圍；而當(dāng)t=3，即 |δ|=3σ時(shí)，在370次測(cè)量中只有1次誤差絕 對(duì)值超出3σ范圍。由于在一般測(cè)量中，測(cè) 量次數(shù)很少超過(guò)幾十次，因此可以認(rèn)為絕對(duì) 值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把 這個(gè)誤差稱(chēng)為單次測(cè)量的極限誤差 ，即

38、 (2-35) 當(dāng)t＝3時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率p＝99.73％。 在實(shí)際測(cè)量中，有時(shí)也可取其它t值來(lái)表示單次測(cè)量的極限誤差。如,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,取t＝2.58，p＝99％； t＝2，p＝95.44％； t＝1.96，p＝95％等。 因此一般情況下，測(cè)量列單次測(cè)量的極限誤差可用下式表示：(2-36) 若已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差σ，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測(cè)量的極限誤差。 （二）算術(shù)平均值的

39、極限誤差 測(cè)量列的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值之差稱(chēng)為算術(shù)平均值誤差 ，即 。當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值誤差 為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，同樣可得測(cè)量列算術(shù)平均值的極限表達(dá)式為： (2-37) 式中的t為置信系數(shù)， 為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常取t＝3，則 (2-38) 實(shí)際測(cè)量中有時(shí)也可取其它t值來(lái)表示算術(shù)平均值的極限誤差。但當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)

40、按“學(xué)生氏”分布(“student” distribution)或稱(chēng)t分布來(lái)計(jì)算測(cè)量列算術(shù)平均值的極限誤差，即 (2-39),第一節(jié)　隨機(jī)誤差,式中的 為置信系數(shù)，它由給定的置信概率 和自由度 來(lái)確定，具體數(shù)值見(jiàn)附錄3； 為超出極限誤差的概率（稱(chēng)顯著度或顯著水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；n為測(cè)量次數(shù)； 為n次測(cè)量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。 對(duì)于同一測(cè)量列，按正態(tài)

41、分布和t分布分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。 例2-9 對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。 解：算術(shù)平均值 標(biāo)準(zhǔn)差 因測(cè)量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。 已知

42、 ，取 ，則由附錄表3查得 ，則有：,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,若按正態(tài)分布計(jì)算，取 ，相應(yīng)的置信概率 ，由附錄表1查得t＝2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為： 由此可見(jiàn)，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按兩種分布計(jì)算的結(jié)果有明顯的差別。七、不等精度測(cè)量 ① 在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，由于客觀條件的限制，測(cè)量條件是變動(dòng)的，得到了不等精度測(cè)量。 ② 對(duì)于精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言

43、，為了得到極其準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果，需要在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測(cè)量方法和測(cè)量?jī)x器，由不同的人進(jìn)行測(cè)量。如果這些測(cè)量結(jié)果是相互一致的。那么測(cè)量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測(cè)量條件而進(jìn)行的不等精度測(cè)量。 ③ 對(duì)于某一個(gè)未知量，歷史上或近年來(lái)有許多人進(jìn)行精心研究和精密測(cè)量，得到了不同的測(cè)量結(jié)果。我們就需要將這些測(cè)量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個(gè)最為滿意的準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。這也是不等精度測(cè)量。 對(duì)于不等

44、精度測(cè)量，計(jì)算最后測(cè)量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），不,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,能套用前面等精度測(cè)量的計(jì)算公式，需推導(dǎo)出新的計(jì)算公式。（一）權(quán)的概念 在等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量值認(rèn)為同樣可靠，并取所有測(cè)得值的算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。在不等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡(jiǎn)單地取各測(cè)量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測(cè)量結(jié)果在最后測(cè)量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測(cè)量結(jié)果

45、的可靠程度可用一數(shù)值來(lái)表示，這數(shù)值即稱(chēng)為該測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”，記為 ，可以理解為當(dāng)它與另一些測(cè)量結(jié)果比較時(shí)，對(duì)該測(cè)量結(jié)果所給予信賴程度。 （二）權(quán)的確定方法 測(cè)量結(jié)果的權(quán)說(shuō)明了測(cè)量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來(lái)確定權(quán)的大小。 最簡(jiǎn)單的方法可按測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)，即測(cè)量條件和測(cè)量者水平皆相同，則重復(fù)測(cè)量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)的大小，即 。 假定

46、同一被測(cè)量有m組不等精度的測(cè)量結(jié)果，這m組測(cè)量結(jié)果是從單次測(cè)量精度相同而測(cè)量次數(shù)不同的一系列測(cè)量值求得的算術(shù)平均值。因,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,為單次測(cè)量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為σ，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為： (2-40) 由此得下列等式 因?yàn)?，故上式又可寫(xiě)成 (2-41) 或表示為(2-42) 即：每組測(cè)量結(jié)果的權(quán)（ ）與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差平方（ ）成反比，若已知 （各組算

47、術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差），則可由（2-42）得到相應(yīng) 的大小。測(cè)量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對(duì)可靠程度，它是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時(shí)增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡(jiǎn)，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再放簡(jiǎn)的整數(shù)，以便用簡(jiǎn)單的數(shù)值來(lái)表示各組的權(quán)。 例2-10 對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行了三組不等精度測(cè)量，其結(jié)果為,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,求各測(cè)量結(jié)果的權(quán)。 解：由式(

48、2-42)得 因此各組的權(quán)可取為 （三）加權(quán)算術(shù)平均值 若對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果為： ，設(shè)相應(yīng)的測(cè)量次數(shù)為n1,n2,…, nm，即： (2-43) 根據(jù)等精度測(cè)量算術(shù)平均值原理，全部測(cè)量的算術(shù)平均值 應(yīng)為：,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,將式(2-43)代入上式得： 或簡(jiǎn)寫(xiě)為(2-44) 當(dāng)各組

49、的權(quán)相等，即 時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值可簡(jiǎn)化為： (2-45) 由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見(jiàn)等精度測(cè)量是不等精度測(cè)量得特殊情況。為簡(jiǎn)化計(jì)算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為：(2-46) 式中的 為接近 的任選參考值。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,例2-11 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度為999.9425mm(三次測(cè)量

50、的)，999.9416mm(兩次測(cè)量的)，999.9419mm(五次測(cè)量的)，求最后測(cè)量結(jié)果。 解：按測(cè)量次數(shù)來(lái)確定權(quán)： ，選 ，則有 (四) 單位權(quán)的概念 由式（2-41）知 ，此式又可表示為 (2-47) 式中 為某精度單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一方差 的等精度單次測(cè)量值的權(quán)數(shù)

51、為1。若已知 ，只要確定 ，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差 。由于測(cè)得值的方差 的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱(chēng)等于1的權(quán)為單位權(quán)，而 為具有單位權(quán)的測(cè)得值方差， 為具有單位權(quán)的測(cè)得值標(biāo)準(zhǔn)差。 利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測(cè)量問(wèn)題化為等權(quán)測(cè)量問(wèn)題來(lái)處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,例如，將不等精確測(cè)量的各組測(cè)量結(jié)果

52、 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根 ，此時(shí)得到的新值z(mì)的權(quán)數(shù)就為1。證明之： 設(shè)取方差 以權(quán)數(shù)字 表示上式中的方差，則 由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值 的權(quán)數(shù) 為1，用這種方法可以把不等精度的各組測(cè)量結(jié)果皆進(jìn)行了單位權(quán)化，使該測(cè)量列轉(zhuǎn)化為等精度測(cè)量列。,不等精度測(cè)量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測(cè)量列來(lái)處理。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 對(duì)

53、同一個(gè)被測(cè)量進(jìn)行 m 組不等精度測(cè)量，得到 m 個(gè)測(cè)量結(jié)果為： 若已知單位權(quán)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差σ，則由式（2-40）知 全部（m×n個(gè)）測(cè)得值的算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)差為： 比較上面兩式可得：(2-48) 因?yàn)?代入式（2-48）得(2-49),,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,當(dāng)各組測(cè)得的總權(quán)數(shù) 為已知時(shí)，可由任一組

54、的標(biāo)準(zhǔn)差 和相應(yīng)的權(quán) ，或者由單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差σ求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 。 當(dāng)各組測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為未知時(shí)，則不能直接用式（2-49），而必須由各測(cè)量結(jié)果的殘余誤差來(lái)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 已知各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為： 將各組 單位權(quán)比，則有： 上式中各組新值已為等精度測(cè)量列的測(cè)量結(jié)果，相應(yīng)的殘差也成為等精度測(cè)量列的殘余誤差，則可用等精度測(cè)量時(shí)的Besse

55、l公式推導(dǎo)得到： (2-50) 將式（2-50）代入式（2-49）得(2-51),,,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,用式（2-51）可由各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，但是只有組數(shù)m足夠多時(shí)，才能得到較為精確的 值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計(jì)值。 例2-12 求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：由加權(quán)算術(shù)平均值 ，可得各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為：

56、 ，又已知 代入式(2-51)得 八、隨機(jī)誤差的其他分布 正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見(jiàn)的非正態(tài)分布。(一)均勻分布 在測(cè)量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點(diǎn)是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱(chēng)矩形,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,分布或等概率分布。均勻分

57、布的分布密度 （圖2-5）和分布函數(shù) 分別為： （2-52） （2-53）它的數(shù)學(xué)期望為： （2-54）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-55）

58、 （2-56）(二)反正弦分布 反正弦分布實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點(diǎn)是該隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度 （圖2-6）和分布函數(shù) 分別為：(2-57),,,,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,（2-57）它的數(shù)學(xué)期望為： （2-58）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2

59、-59） （2-60）（三）三角形分布 當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分布的隨機(jī)誤差求和時(shí)，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱(chēng)辛普遜（Simpson）分布。實(shí)際測(cè)量中，若整個(gè)測(cè)量過(guò)程必須進(jìn)行兩次才能完成，而每次測(cè)量的隨機(jī)誤差服從相同的均勻分布，則總的測(cè)量誤差為三角形分布誤差。 三角形分布的分布密度 （圖2-7）和分布函數(shù) 分別為：

60、(2-61),,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,（2-63）它的數(shù)學(xué)期望為： （2-64）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-65） （2-66） 如果對(duì)兩個(gè)誤差限為不相等的均勻分布隨機(jī)誤差求和時(shí)，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。

61、 在測(cè)量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點(diǎn)分布等，在此不做一一敘述。（四） 分布 令 為 個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義一個(gè)新的隨機(jī)變量 (2-67) 隨機(jī)變量 稱(chēng)為自由度為的卡埃平方變量。自由度 表示上式中項(xiàng)數(shù)或,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。 分布的分布密度 如圖2-8所示。

62、 (2-68) 式中的 函數(shù)。 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-69) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-70)(2-71) 在本書(shū)最小二乘法中要用到 分布，此外它也是 t 分布和 F 分布的基礎(chǔ)。 由圖2-8的兩條 理論曲線看出，當(dāng) 逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對(duì)稱(chēng)

63、。可以證明當(dāng) 足夠大時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱(chēng) 為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。（五）t 分布,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,令 和 是獨(dú)立的隨機(jī)變量， 具有自由度為 的 分布函數(shù)， 具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為(2-72) 隨機(jī)變量t稱(chēng)自由度為 的學(xué)生氏t變量。 t分布的分布密度 為（圖2-9）：

64、 (2-73) 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-74) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-75) (2-76) t分布的數(shù)學(xué)

65、期望為零，分布曲線對(duì)稱(chēng)于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-9所示?？梢宰C明，當(dāng)自由度較小時(shí)，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度 時(shí)，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,（六）F分布 若 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)， 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機(jī)變量為

66、(2-77) 隨機(jī)變量F稱(chēng)為自由度為 、 的F變量。 F分布的分布密度 如圖2-10所示。 (2-78) 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-79) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-80)(2-81)

67、 F分布也是一種重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。,第一節(jié)　隨機(jī)誤差,一、研究系統(tǒng)誤差的重要意義 前面所述的隨機(jī)誤差處理方法，是以測(cè)量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng)誤差為前提。實(shí)際上測(cè)量過(guò)程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測(cè)量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測(cè)量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)

68、誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要，否則對(duì)隨機(jī)誤差的嚴(yán)格數(shù)學(xué)處理將失去意義。 系統(tǒng)誤差是指在確定的測(cè)量條件下，某種測(cè)量方法和裝置，在測(cè)量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測(cè)量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度。例如某臺(tái)新儀器，因缺乏檢定手段和標(biāo)準(zhǔn)，只對(duì)測(cè)量精密度（如重復(fù)性和穩(wěn)定性）作檢定，驗(yàn)收合格。后經(jīng)一段時(shí)間