第三章 多維隨機變量及其分布 - 統(tǒng)計學優(yōu)秀教學團隊

1、1第六章第六章參數估計參數估計6.1點估計的幾種方法點估計的幾種方法6.1.1替換原理和矩法估計替換原理和矩法估計一、矩法估計一、矩法估計替換原理：替換原理：(1)用樣本矩去替換總體矩，這里的矩可以是原點矩也可以是中心矩；(2)用樣本矩的函數去替換相應的總體矩的函數。舉例二、概率函數二、概率函數已知時未知參數的矩法估計已知時未知參數的矩法估計)(?xp設總體具有已知的概率函數，是未知參數)(1kxp????)(1k????或參數向量，是

2、樣本，假定總體的階原點矩存在，則對所有nxxx21?kk?，都存在，若假設能夠表示成的函數j0kj??j?k??1?k??1?，則可給出諸的矩法估計：)(1kjj??????j?kjaakjj??1)(?1????其中是前個樣本原點矩：，進一步，如果要估計kaa1?k???nijijxna11的函數，則可直接得到的矩法估計k??1?)(1kg??????。)??(?1kg?????例1設總體為指數分布，其密度函數為，xexp?????)

3、(0?x是樣本，此處，由于，亦即，故的nxxx21?1?k?1?EXEX1???矩法估計為x1???另外，由于，其反函數為，因此，從替換原21)(??XVar)(1XVar??理來看，的矩法估計也可取為?，s1?1??樣本標準差。這說明矩估計可能是不唯一的，這是矩法估計的一個缺點，s此時通常應該盡量采用低階矩給出未知參數的估計。例2設是來自上的均勻分布的樣本，與均是未知參nxxx21?)(baab數，這里其密度函數為2?k，??????

4、???01)(bxaabbaxp求，的矩估計.ab3由于0)1(22)(ln22322122?????????????nnnnL所以為極大值點。??例4設樣本x1，x2，…，xn來自正態(tài)總體X?N(?，?2)，(?，?2)是??二維參數，未知，求其的極大似然估計。解似然函數為??222211()2222211()(2)2niiixnnxiLee?????????????????????于是對數似然函數為??????niixnnL1222

5、2)(21ln22ln2)(ln????????????????????????????niiniixnLxL1242212.0)(212ln0)(1ln???????解之得????????niiniixxnxxn1221)(1?1???易驗證，為L(?，?2)得最大值點。因此，的極大似然估計值為2????2???????????niiniixxnxn1221)(1?1???求導無法解決的問題，如下例。例5設是來自均勻分布的樣本，試求的

6、最大似然估nxxx21?)0(?U?計。解似然函數為?????niXniIL101)(???要使達到最大，首先一點是示性函數取值應該為1，其次是盡可能)(?Ln?1大。由于是的單調減函數，所以的取值就盡可能小，但示性函數為n?1??1決定了不能小于，由此給出了的最大似然估計：。?)(nx?)(?nx??最大似然估計的不變性最大似然估計的不變性：如果是的最大似然估計，則對任一函數???，其最大似然估計為。)(?g)?(?g例6設是來自正態(tài)