系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

1、第三講,1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述----線性常系數(shù)差分方程,要點,LSI系統(tǒng)因果穩(wěn)定性定義及判斷方法時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述及求解方法線性常系數(shù)差分方程、初始條件與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系,1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,因果系統(tǒng)(causality system) 若系統(tǒng) n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而與n時刻以后的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。,LSI系統(tǒng)

2、是因果系統(tǒng)的充要條件：,滿足上式的序列稱為因果序列，因此因果系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)必然是因果序列。因果性系統(tǒng)的條件從概念上也容易理解，因為單位取樣響應(yīng)是輸入為δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，在n=0時刻以前即n<0時，沒有加入信號，輸出只能等于零，注：關(guān)于此條件的嚴(yán)格證明可參考程佩青《數(shù)字信號處理教程〉,1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,如果n時刻的輸出還取決于n時刻以后的輸入序列，在時間上違背了因果性，系統(tǒng)無法實現(xiàn)，則系統(tǒng)被稱為非因果系統(tǒng)。因

3、此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。非因果模擬系統(tǒng)是不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。非因果數(shù)字系統(tǒng)是可以近似實現(xiàn)的系統(tǒng)。,1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,,一個非因果數(shù)字系統(tǒng)的實現(xiàn),1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,實際系統(tǒng)一般是因果系統(tǒng) 對圖象、已記錄數(shù)據(jù)處理以及做平滑處理的系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)在判斷時必須把輸入信號的影響與系統(tǒng)中定義的其他函數(shù)區(qū)分開來， 如y(n)=x(n)sin(n+2)是因果系統(tǒng)在判斷時必須考慮全部時間變量

4、 如 y(n)=x(n-k) 是有條件因果系統(tǒng),1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,穩(wěn)定系統(tǒng)(stability system) 穩(wěn)定系統(tǒng)是有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述：若,LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：,則,LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件,證明 先證明充分性。即若h(n)滿足絕對可和條件,則輸入有界輸出必有界。,因為輸入序列x(n)有界，即 |x(n)|<B,-∞<n< B為任意

5、常數(shù),則有,下面用反證法證明其必要性。如果h(n)不滿足 那么總可以找到一個或若干個有界的輸入引起無界的輸出，例如：,,x(n)=,令n=0,,說明輸入有界,結(jié)論： 因果穩(wěn)定的LSI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)是因果序列，且是絕對可和的，即：,例1.3.6設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) 式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。,只有當(dāng)|a|<1時,有條件穩(wěn)定

6、,例1.3.7 設(shè)系統(tǒng)的)單位取樣響應(yīng)h(n)=u(n)，求對于任意輸入序列x(n)的輸出y(n)，并檢驗系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。 y(n)=x(n)*h(n)= 因為當(dāng)n-k<0時，u(n-k)=0；n-k≥0時，u(n-k)=1，因此，求和限為k≤n，所以,(1.3.15),分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性：,單位取樣響應(yīng)h(n)=u(n)代表的系統(tǒng)為因果非穩(wěn)定系統(tǒng),1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描

7、述----線性常系數(shù)差分方程,描述一個系統(tǒng)，可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個黑盒子，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系，這種方法稱為輸入輸出描述法。對于模擬系統(tǒng)，我們知道由微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。對于時域離散系統(tǒng)，則用差分方程描述或研究輸出輸入之間的關(guān)系。,·,一、系統(tǒng)的時域描述,（1）單位沖擊響應(yīng)h(n) （2）差分方程,求解條件：N個初始值和M各輸入序列,二、常系數(shù)線性差分方程,

8、一個N階常系數(shù)線性差分方程表示為：,其中：,*差分方程的階數(shù)：y(n)變量n的最大序號與最小序號之差 ，如 N=N-0.線性：y(n-k),x(n-m)各項只有一次冪,不含它們的乘積項。,求解常系數(shù)線性差分方程的方法：1）經(jīng)典解法2）遞推解法3）變換域方法,對于同一個差分方程和同一個輸入信號，因為初始條件不同，得到的輸出信號是不相同的。 對于實際系統(tǒng)，用遞推解法求解，總是由初始條件向n>0的方向遞推，是一個

9、因果解。但對于差分方程，其本身也可以向n<0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能確定該系統(tǒng)是否是線性時不變因果穩(wěn)定，還需要用初始條件進(jìn)行限制。,差分方程與系統(tǒng)的關(guān)系,例1：已知常系數(shù)線性差分方程（1）若邊界條件 求其單位抽樣響應(yīng)。 （2）若邊界條件 求其單位抽樣響應(yīng)，并判斷是否為線性時不變系統(tǒng)。,對應(yīng)一個因果系統(tǒng),判斷是否為線性時不變系統(tǒng),1.一個常系數(shù)線性差分方程并不一定代表

10、因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。2.我們以后討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。,注意：,作業(yè),1-4 ；1-5 （1）（3）（5）（7）1-6 （1）（3）（5）；1-71-8,下一講內(nèi)容及要點,要點：抽樣過程如何實現(xiàn)，時域如何描述？頻域如何描述？奈奎斯特抽樣定理的意義?由時域離散信號恢復(fù)模擬信號的過程稱為內(nèi)插恢復(fù)過程，該過程如何實現(xiàn)，

11、時域如何描述？頻域如何描述？,解：,1. 已知線性移不變系統(tǒng)的輸入為x(n)，系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為h(n)，試求系統(tǒng)的輸出y(n)，并畫圖。,2 已知一個線性時不變系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng) 除區(qū)間 之外皆為零；又已知輸入 除區(qū)間 之外皆為零；設(shè)輸出 除區(qū)間 之外皆為零，試以

12、 和 表示和 。,本題的目的旨在解釋當(dāng)參與卷積的兩序列為有限長時，如何確定卷積和的非零區(qū)間。,解：,對線性移不變系統(tǒng)，有,對 ，非零值的區(qū)間為,對 ，非零值區(qū)間為,得輸出 的非零值區(qū)間,3. 判斷以下系統(tǒng)是否是（1）線性（2）移不變（3）因果（4）穩(wěn)定的？,滿足疊加原理,是線性系統(tǒng),不是移不變系統(tǒng),因為系統(tǒng)的輸出只取決于當(dāng)前輸入，與未來輸入無關(guān)。所以是因

13、果系統(tǒng),若 有界,當(dāng) 時，輸出有界，系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng),當(dāng) 時，輸出無界，系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng),滿足疊加原理,是線性系統(tǒng),是移變系統(tǒng),當(dāng) 時，輸出只取決于當(dāng)前輸入和以前 的輸入,而當(dāng) 時，輸出還取決于未來輸入,是非因果系統(tǒng),當(dāng) 時，,是不穩(wěn)定系統(tǒng)