勾股定理中的動(dòng)點(diǎn)題

1、勾股定理中的動(dòng)點(diǎn)題勾股定理中的動(dòng)點(diǎn)題動(dòng)點(diǎn)題是近年來(lái)中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，解這類題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問(wèn)題，變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題來(lái)解。一般方法是抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬(wàn)變，首先根據(jù)題意理清題目中兩個(gè)變量X、Y的變化情況并找出相關(guān)常量，第二，按照?qǐng)D形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出一個(gè)基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用一個(gè)自變量的表達(dá)式表達(dá)出來(lái)，然后再根據(jù)題目的要求，依據(jù)幾何、代數(shù)知識(shí)解出。第三，確定自變量的取值范圍，畫出相應(yīng)的圖象。這類題目難度

2、較大從數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，一般考察幾何圖像的判定和性質(zhì)（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函數(shù)和方程的知識(shí)等綜合性很強(qiáng).從數(shù)學(xué)思想方法看有：數(shù)形結(jié)合的思想方法，轉(zhuǎn)化的思想方法，分類討論的思想方法，方程的數(shù)學(xué)，函數(shù)的思想方法等關(guān)鍵:動(dòng)點(diǎn)中的分類討論：抓住運(yùn)動(dòng)中的關(guān)鍵點(diǎn)，動(dòng)中求靜.1、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120動(dòng)點(diǎn)P、E、M分別從B、A、D三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E沿AD向終點(diǎn)

3、D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為每秒2個(gè)單位連接PE、PM、EM，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、E、M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒），△PEM的面積為S（1）判斷△PAE與△EDM是否全等，說(shuō)明理由；（2）連接BD，求證：△EPM∽△ABD；（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△PEM的面積的最小值考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。解答：解：（1）△PAE≌△EDM，理由如下：根據(jù)題意，得BP=AE=D

4、M=2t，∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4﹣2t（1分）∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴∠PAE=∠EDM；（2分）又AP=DE，AE=DM，∴△PAE≌△EDM（3分）（2）證明：∵△PAE≌△EDM，∴PE=EM，∠1=∠2（4分）∵∠3∠2=∠1∠BAD，∴∠3=∠BAD；（5分）∵AB=AD，∴；（6分）∴△EPM∽△ABD（7分）（3）過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于F，過(guò)P點(diǎn)作PG⊥AD交于G；在Rt△AFB中

5、，∠4=180﹣∠BAD=180﹣120=60，∴BF=AB?sin∠4=4?sin60=∴S△ABD=（8分）在Rt△APG中，PG=AP?sin∠4=（4﹣2t）?sin60=（2﹣t）AG=AP?cos∠4=（4﹣2t）?cos60=2﹣t，∴GE=AGAE=2﹣t2t=2t∵PE2=PG2GE2∴[（2﹣t）]2（2t）2=4t2﹣8t16∵△EPM∽△ABD，∴=（9分）∴S△EPM=4=；∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=（0≤t≤

6、2）（10分）即S=∴當(dāng)t=1，S有最小值，最小值為（12分）另一解法（略解）在Rt△APG中，PG=AP?sin∠4=（4﹣2t）?sin60=（2﹣t）AG=AP?cos∠4=（4﹣2t）?cos60=2﹣t在Rt△MFD中，F(xiàn)M=DM?sin∠MDF=2t?sin60=，DF=DM?cos∠MDF=2t?cos60=t從而ED=QH=QC－CH=3t－30∴S=S梯形QCDE=(ED＋QC)DH=120t－600………………………

7、…（8分）（4）△PQE能成為直角三角形……………………………………………………（9分）當(dāng)△PQE為直角三角形時(shí)，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35…（12分）（注：（4）問(wèn)中沒(méi)有答出t≠或t=35者各扣1分，其余寫法酌情給分）下面是第（4）問(wèn)的解法，僅供教師參考：①當(dāng)點(diǎn)P在BA（包括點(diǎn)A）上，即0＜t≤10時(shí)，如圖9過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，則PG=PBsinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時(shí)△PQ

8、E總能成為直角三角形②當(dāng)點(diǎn)P、E都在AD（不包括點(diǎn)A但包括點(diǎn)D）上，即10＜t≤25時(shí)，如圖8由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時(shí)，△PQE為直角三角形，但點(diǎn)P、E不能重合，即5t－50＋3t－30≠75，解得t≠③當(dāng)點(diǎn)P在DC上（不包括點(diǎn)D但包括點(diǎn)C），即25＜t≤35時(shí)，如圖10由ED＞253－30=45，可知，點(diǎn)P在以QE=40為直徑的圓的外部，故∠EPQ不會(huì)是直角由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角對(duì)于∠PQE，∠PQE≤

9、∠CQE，只有當(dāng)點(diǎn)P與C重合，即t=35時(shí)，如圖11，∠PQE=90，△PQE為直角三角形綜上所述，當(dāng)△PQE為直角三角形時(shí)，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=354、（2009?青島）如圖，在梯形ABCD中，，，，，點(diǎn)由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cms；同時(shí)，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cms，交于Q，連接PE若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s）（）解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)為何值時(shí)，？（2）設(shè)的面積為（cm2），求與之間的

10、函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由（4）連接，在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，五邊形的面積是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由考點(diǎn)：平行線的判定；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式；三角形的面積；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。解：（1）∵∴而，∴，∴∴當(dāng)2分（2）∵平行且等于，∴四邊形是平行四邊形∴∵，∴∴∴∴過(guò)B作，交于，過(guò)作，交于∵，∴又，，，6分（3）若，則有，解得（4）在和中，∴∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，五邊形的面積不變1