雙曲線及其標準方程公開課

1、雙曲線及其標準方程,1、我們知道,2. 引入問題：,橢圓,①如圖(A)，,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,②如圖(B)，,|MF2|-|MF1|=2a,上面 兩條曲線合起來叫做雙曲線,由①②可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的絕對值）,F,① 兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;,② |F1F2|=2c ——焦距.,（2a< |F1F2|）,平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數

2、（小于︱F1F2︱)的點的軌跡叫做雙曲線.,雙曲線定義,思考：,（1）若2a= |F1F2|,則軌跡是？,（2）若2a> |F1F2|,則軌跡是？,| |MF1| - |MF2| | = 2a,(1)兩條射線,(2)不表示任何軌跡,生活中的雙曲線,,,,,,,生活中的雙曲線,,x,o,,,設P（x , y）,雙曲線的焦距為2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)常數=2a,,,F1,F2,,,P,以F1,F2所在

3、的直線為X軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系,1. 建系.,2.設點．,3.列式．,|PF1 - PF2|= 2a,4.化簡.,如何求雙曲線的標準方程？,移項兩邊平方后整理得：,兩邊再平方后整理得：,由雙曲線定義知：,設,代入上式整理得：,焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么,想一想,,雙曲線的標準方程:,焦點在x軸上,焦點在y軸上,問題：如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？,F ( ±c, 0),F(0, 

4、7; c),,x2與y2的系數符號，決定焦點所在的坐標軸，x2,y2哪個系數為正，焦點就在哪個軸上，雙曲線的焦點所在位置與分母的大小無關。,焦點在x軸上,焦點在y軸上,練習：寫出以下雙曲線的焦點坐標（請注意焦點的位置）,F(±5,0),F(0,±5),例1 已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上　　一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6，求雙　　曲線的標準方程.,∵　2a = 6,　c

5、=5,∴　a = 3, c = 5,∴　b2 = 52-32 =16,所以所求雙曲線的標準方程為：,根據雙曲線的焦點在 x 軸上，設它的標準方程為：,解:,,點P的軌跡為雙曲線,課堂練習,1.寫出適合下列條件的雙曲線的標準方程 1) a=4 ，b=3 ， 焦點在x軸上. 2）a= ，c=4 ，焦點在坐標軸上.,解：雙曲線的標準方程為,使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合,解: 由聲速

6、及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.,例2.已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.,如圖所示，建立直角坐標系xOy,,設爆炸點P的坐標為(x,y)，則,即 2a=680，a=340,因此炮彈爆炸點的軌跡方程為,,,,,,

7、例2.已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3)2+y2=9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程．,解：設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A 和B，根據兩圓外切的條件，,|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,這表明動點M與兩定點C2、C1的距離的差是常數2．根據雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，這里a=

8、1，c=3，則b2=8，設點M的坐標為(x，y)，其軌跡方程為：,例3、如果方程 表示雙曲線，求m的范圍,解（m-1)(2-m)2或m<1,| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）,F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c),小結,F（±c，0）,F（±c，0）,a>0，b&g