貴州省貴陽市花溪二中八年級數(shù)學競賽講座第十三講 從勾股定理談起

1、第1頁（共8頁）第十三講第十三講從勾股從勾股定理談起定理談起勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，大約在公元前1100多年前，商高已經證明了普通意義下的勾股定理，在國外把勾股定理稱為“畢達哥拉斯定理”勾股定理是平面幾何中一個重要定理，其廣泛的應用體現(xiàn)在：勾股定理是現(xiàn)階段線段計算、證明線段平方關系的主要方法，運用勾股定理的逆定理，通過計算也是證明兩直線垂直位置關系的一種有效手段直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質：兩銳角互余(角的

2、關系)、勾股定理(邊的關系)，30角所對的直角邊等于斜邊的一半(邊角關系)，這些性質在求線段的長度、證明線段倍分關系、證明線段平方關系等方面有廣泛的應用例題求解例題求解【例1】如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內作等邊△ABD，連結DC，以DC為邊作等邊△DCE，B、E在CD的同側，若AB=2，則BE=(重慶市中考題)思路點撥思路點撥因BE不是直角三角形的邊，故不能用勾股定理直接計算，需找出與BE相等的線段轉化問題注千百年來，

3、勾股定理的證明吸引著數(shù)學愛好者，目前有400多種證法，許多證法的共同特點是通過弦圖的割補、借助面積加以證明，美國第20任總統(tǒng)加菲爾德(1831—1881)曾給出一個簡單證法勾股定理的發(fā)現(xiàn)是各族人民早期文明的特征，有人建議，將來與“外星人”交往，可以把勾股定理轉化為光電訊號，傳向異域，他們一定懂得勾股定理現(xiàn)已確定的2002年8月在北京舉行的國際數(shù)學家大會的會標來源于弦圖的圖案第3頁（共8頁）思路點撥思路點撥假設存在符合條件的直角三角形，它

4、的三邊長為a、b、c，其中c為斜邊，則??????????2222abcbacba，于是將存在性問題的討論轉化為求方程組的解注當勾股定理不能直接運用時，常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運用創(chuàng)造必要的條件，有時又需要由線段的數(shù)量關系去判斷線段的位置關系，這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組從代數(shù)角度，考察方程222zyx??的正整數(shù)解，古代中國人發(fā)現(xiàn)了“勾三股，四弦五”，古希臘人找到了這個方程的全部整數(shù)解（用代數(shù)式表示的勾

5、股數(shù)組）17世紀，法國數(shù)學家費爾馬提出猜想：當n≥3時，方程nnnzyx??無正整數(shù)解1994年，曼國普林斯頓大學維爾斯教授歷盡艱辛證明了這個猜想，被譽為20世紀最偉大的成果一般地，在有等邊三角形、正方形的條件下，可將圖形旋轉60或90，旋轉過程中角度、線段的長度保持不變，在新的位置上分散的條件相對集中，以便挖掘隱含條件，探求解題思路學力訓練學力訓練1如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45，把△ACD沿AD對折，點C落在點C′的位置

6、，則BC′與BC之間的數(shù)量關系是(山西省中考題)2如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP重合，若AP＝3，則PP′的長等于3如圖，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，則AD=(武漢市選拔賽試題)4如圖，四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC=4cm，CD=12㎝，DA=13cm，且∠ABC=90，則四邊形ABCD的面積是cm25如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻上，梯子的頂