直線在平面上的射影，直線和平面所成的角

1、斜 線 在 平 面 上 的 射 影 直 線 和 平 面 所 成 的 角,,,自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影；,這個點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段。,一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足。,斜線上一點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段。,,,,,,A,C,B,,過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足

2、的直線叫做斜線在這個平面上的射影；,垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影。,斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上。,,,,垂線段比任何一條斜線段都短,從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中，那一條最短？,OB=OC ? AB=AC,OB＞OC ? AB ＞AC,AB=AC ? OB=OC,AB ＞AC ? OB＞OC,射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜

3、線段也較長,相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長,,定理 從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，,（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長,（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長,（3）垂線段比任何一條斜線段都短,1.點P是△ABC所在平面外一點，且P點到△ABC三個頂點距離相等，則P點在△ABC所在平面上的射影是△ABC的 心。,,,,練習(xí),外

4、,,練習(xí),2.判斷下列說法是否正確,（1）兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影 一定是平行直線 （ ）,（2）兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影 一定是相交直線 （ ）,（3）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影 要么是平行直線，要么是相交直線 （

5、 ）,（4）若斜線段長相等，則它們在平面內(nèi) 的射影長也相等 （ ）,,,,,,,,,(2),(4),練習(xí)3,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。,,,,,,一條直線垂直與平面，它們所成的角是直角；,一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0 ?的角。,直線和平面所成角的范圍是[0?，90?]。,,

6、l是平面? 的斜線，A是l上任意一點，AB是平面? 的垂線，B是垂足，OB是斜線l的射影，θ是斜線l與平面? 所成的角.,θ與∠AOD的大小關(guān)系如何？,,C,θ與∠AOD的大小關(guān)系如何？,在Rt△AOB中，,在Rt △AOC中，,∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD,∴θ＜∠AOD,斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。,斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)任意的直線所成的一切角中最小的角。,

7、,,,,,,,,,,,C,最小角原理,問題：a??,a與OA所成的角中最大是____，最小是______。,例題,例1.如圖，AO是平面π的斜線，AB ⊥平面π于B，OD是π內(nèi)不與OB重合的直線，∠AOB=? ，∠BOD= ? ，∠AOD=? ，求證：cos ? =cos ? cos ?,,,,,A,B,O,,,C,,,,,練習(xí),4(1).AO與平面?斜交，O為斜足，AO與平面?成?角，B是A在?上的射影,OD是?內(nèi)的直線，∠BOD=3

8、0?，∠AOD=60?，則sin ? = 。,(2),練習(xí),6.兩條平行直線和一個平面所成的角相等嗎？,5.已知斜線段的長是它在平面β上射影的2倍，求斜線和平面β所成的角。,如圖，斜線段AB是其射影OB的兩倍，求AB與平面β所成的角。,如果兩條直線與一個平面所成的角相等，它們平行嗎？,例2.線段MN長6厘米，M到平面β的距離是1厘米，N到平面β的距離是4厘米，求MN與平面β所成角的余弦值。,,