函數(shù)的極值與導數(shù)課件公開課

1、3.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù),學習目標1.理解極大值，極小值的概念2.會用導數(shù)求最高次冪不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值并掌握求極值的步驟．,閱讀教材P93---P96回答下列問題：,1，什么是極小值，什么是極大值？各有什么特點2，函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？在區(qū)間內(nèi)可導函數(shù)的極大值和極小值是惟一的嗎？,3，導數(shù)為0的點都是極值點嗎？,1．極小值點與極小值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點

2、x＝a附近其他點的函數(shù)值_____，且______；而且在點x＝a的左側(cè)_________，右側(cè)________，則把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．,f′(x)<0,f′(x)>0,<0,>0,f ’(a)=0,,,,都小,f′(a)＝0,2．極大值點與極大值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值____，且_______；而

3、且在點x＝b的左側(cè)________，右側(cè)________，則把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．_________、_________統(tǒng)稱為極值點，_______和_______統(tǒng)稱為極值．,f′(x)>0,f′(x)<0,極大值點,極小值點,極大值,極小值,<0,>0,,,,f ’(b)=0,都大,f′(b)＝0,問題1：你能找出函數(shù)的極小值點和極大值點嗎？為什么？觀察上

4、述圖象,試指出該函數(shù)的極值點與極值,并說出哪些是極大值點,哪些,問題2：極小值一定比極大值小嗎？上述圖象,試指出該函數(shù)的極值點與極值,并說出哪些是極大值點,哪些,觀察圖像回答下面問題：,,,,,不一定,,？,【解】　(1)f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：,因此，當x＝－1時函數(shù)取得極大值，且極大值為f(－1)＝10；當x＝3時函數(shù)取得

5、極小值，且極小值為f(3)＝－22.,求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況 若f ’(x０)左正右負，則f(x０)為極大值； 若 f ’(x０)左負右正，則f(x０)為極小值,求導—求極

6、點—列表—求極值,練習:,求下列函數(shù)的極值:,解:,解得 列表:,–,+,+,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,,,,所以, 當 x = –3 時, f (x)有極大值 54 ;,當 x = 3 時, f (x)有極小值 – 54 .,思考,(1)導數(shù)為0的點一定是 函數(shù)的極值點嗎？,例如：f(x)=x3,f ’(x)=3x2≥0,f ’(0)=3×02=0,,,結論

7、,,若f(x0) 是極值，則f ’(x0)=0。反之，f ’(x0)=0，f(x0)不一定是極值,y=f(x)在一點的導數(shù)為0是函數(shù)y=f(x)在這點取得極值的 必要條件。,,函數(shù)的性質(zhì),單調(diào)性,單調(diào)性的判別法,單調(diào)區(qū)間的求法,函數(shù)極值,函數(shù)極值的定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,函數(shù)極值的求法,必要條件,求極值的步驟:1.求導，2.求極點，3.列表，4.求極值,,1.求導，2.求臨界點3. 列

8、表，4.單調(diào)性,,,1．極值的概念理解在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．請注意以下幾點：(1)極值是一個局部概念．由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)最大或最?。?已知函數(shù)極值情況，逆向應用確定函數(shù)的解析式,進而研究函數(shù)性質(zhì)時，注意兩點：(1)常根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因為導數(shù)值等

9、于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性．,已知極值求參數(shù),極值問題的綜合應用主要涉及到極值的正用和逆用，以及與單調(diào)性問題的綜合，題目著重考查已知與未知的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想在解題中的應用，在解題過程中，熟練掌握單調(diào)區(qū)間問題以及極值問題的基本解題策略是解決綜合問題的關鍵．,函數(shù)極值的綜合應用,設函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若

10、關于x的方程f(x)＝a有三個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍．【思路點撥】　(1)利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值.(2)由(1)的結論，問題轉(zhuǎn)化為y＝f(x)和y＝a的圖象有3個不同的交點，利用數(shù)形結合的方法求解.,【名師點評】　用求導的方法確定方程根的個數(shù),是一種很有效的方法．它通過函數(shù)的變化情況，運用數(shù)形結合思想來確定函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，從而判斷方程根的個數(shù)．,(2)函數(shù)的極值不一定是惟一的，即一個函數(shù)在某個區(qū)間上或定義域內(nèi)的極

11、大值或極小值可以不止一個．(3)極大值與極小值之間無確定的大小關系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，x1是極大值點，x4是極小值點，而f(x4)＞f(x1)．,精品課件！,精品課件！,2．極值點與導數(shù)為零的點(1)可導函數(shù)的極值點是導數(shù)為零的點，但是導數(shù)為零的點不一定是極值點，即“點x0是可導函數(shù)f(x)的極值點”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要條件；(2)可導函數(shù)f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0