高中排列組合知識點匯總及典型例題(全)

1、一．基本原理 1．加法原理：做一件事有 n 類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。 2．乘法原理：做一件事分 n 步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二．排列：從 n 個不同元素中，任取 m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一. m n m n A 有排列的個數(shù)記為 個元素的一個排列，所 個不同元素中取出 列，叫做從1.公式：1. ? ?? ?

2、? ? ? ?!! 1 2 1 m nn m n n n n Amn ? ? ? ? ? ? ? … …2.規(guī)定：0! 1 ?(1) ! ( 1)!,( 1) ! ( 1)! n n n n n n ? ? ? ? ? ? ?(2) ! [( 1) 1] ! ( 1) ! ! ( 1)! ! n n n n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ；(3) 1 1 1 1 1 1( 1)! ( 1)! (

3、1)! ( 1)! ! ( 1)!n n nn n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?三．組合：從 n 個不同元素中任取 m（m≤n）個元素并組成一組，叫做從 n 個不同的 m 元素 中任取 m 個元素的組合數(shù)，記作 Cn 。1. 公式： ? ? ? ?? ?C AAn n n mmnm n mn m n mm m ? ? ? ? ? ? ?1 1 ……!!! !1 0 ? n C 規(guī)定：組合數(shù)性質(zhì)：

4、. 2n n n n nm nm nm nm n nm n C C C C C C C C 2 1 011 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? … … ， ，① ；② ；③ ；④1 1 11 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1r r r r r r r r r r r r r r rr r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C ? ? ?? ? ? ? ?

5、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注：若 1 2 m m1 2 1 2 m =m m +m n n n C C ? ? 則或四．處理排列組合應(yīng)用題 1.①明確要完成的是一件什么事（審題） ②有序還是無序 ③分步還是分類。2．解排列、組合題的基本策略 （1）兩種思路：①直接法； ②間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解 決排列

6、組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。（2）分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。注 意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步 計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分 類，后分步。（4）兩種途徑：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列應(yīng)用題： （1）窮舉法（列舉法）：將

7、所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來； (2)、特殊元 素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；（3）．相鄰問題：捆邦法： 對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與 其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。 （4）、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空 法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩 端的空隙之間插入。高排列，

8、有多少種排法？ 分析一：先在 7 個位置上任取 4 個位置排男生，有 A 47 種排法.剩余的 3 個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有 1 種排法，故共有 A 47 ·1=840 種.1.從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機(jī)中任取 3 臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同 的取法共有解析 1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)， 故不同的取法共有 3 3 39 4 5 70 C C

9、 C ? ? ? 種,選.C解析 2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型 1 臺乙型 2 臺；甲型 2 臺乙型 1 臺；故不同的取法有 2 1 1 25 4 5 4 70 C C C C ? ? 臺,選C .2．從 5 名男生和 4 名女生中選出 4 人去參加辯論比賽奎屯王新敞新疆（1）如果 4 人中男生和女生各選 2 人，有 種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有 種選法； （3）如 果男生中的

10、甲與女生中的乙至少要有 1 人在內(nèi)，有 種選法； （4）如果 4 人中必須既有男生 又有女生，有 種選法奎屯王新敞新疆分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是 組合問題. 解：（1）先從男生中選 2 人，有 2 5 C 種選法，再從女生中選 2 人，有 2 4 C 種選法，所以共有2 25 4 C C =60（種）；（2）除去甲、乙之外，其余 2 人可以從剩下的 7 人中任意

11、選擇，所以共有 2 22 7 C C =21（種）； （3）在 9 人選 4 人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉，得到符合條件的選法數(shù)： 4 49 7 C C ?=91（種）；直接法，則可分為 3 類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)1 3 1 3 2 2 3 3 21 7 1 7 2 7 7 7 7 C C C C C C C C C ? ? ? ? ? =91（種）.（4）在 9 人選 4 人的選法中，把只有男生和

12、只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)4 4 49 5 4 C C C ? ? =120（種）.直接法：分別按照含男生 1、2、3 人分類，得到符合條件的選法為 1 3 2 2 3 15 4 5 4 5 4 C C C C C C ? ? =120（種）.1．6 個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐 4 人，則不同的乘車方法數(shù)為( )A．40 B．50 C．60 D．70[解析] 先分組再排列，一組 2 人一組 4

13、人有 C ＝15 種不同的分法；兩組各 3 人共有 ＝ 2 6 C3 6A210 種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為 25×2＝50，故選 B. 2．有 6 個座位連成一排，現(xiàn)有 3 人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有( )A．36 種 B．48 種 C．72 種 D．96 種[解析] 恰有兩個空座位相鄰，相當(dāng)于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插 空，從而共 A A ＝72 種排法，故選 C. 3