考研數(shù)學(xué)精選例題

1、這道題目的條件很明顯，閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，第一反應(yīng)應(yīng)該就是中值定理了中值定理有三個(gè)，那么該用哪個(gè)呢？回一下就可以發(fā)現(xiàn)，三個(gè)中值定理都只會(huì)出現(xiàn)一個(gè)參數(shù)，但是題目中卻出現(xiàn)了兩個(gè)參數(shù)η，ξ。那么怎么辦？這個(gè)時(shí)候就應(yīng)該知道僅僅一個(gè)中值定理是解決不了此題的，所以考慮使用兩個(gè)中值定理來(lái)做！那么，到底該使用哪兩個(gè)中值定理呢？一般來(lái)說(shuō)，中值定理的混用有 3 種，兩個(gè)拉格朗日，一個(gè)拉格朗日一個(gè)柯西，兩個(gè)柯西。具體問(wèn)題就要具體分析了。所以對(duì)這道題目

2、，我們有必要對(duì)式子進(jìn)行變形，從中發(fā)現(xiàn)線索！不知道大家看出來(lái)我變形的目標(biāo)沒(méi)有----就是將同一個(gè)參數(shù)集中在一堆，然后 f 放在分子，具體函數(shù)（在這道題中就是 cosx 與 sinx）放在分母。從這種形式，我們很容易看出來(lái)，這應(yīng)該是柯西中值定理的應(yīng)用左邊 f’(η)/sinη 就可以看做柯西中值定理的右邊部分，這樣一來(lái)，我們只需要把分子分母的原函數(shù)找出來(lái)，然后用柯西中值定理處理就可以出現(xiàn)我們結(jié)論中的東西了。同理，右邊的 f’(ξ)/cosξ

3、 也可以再用一個(gè)柯西中值定理處理。注意，這里左邊就應(yīng)該取端點(diǎn)值 a,b，因?yàn)楸磉_(dá)式里面還含有 a,b。至于那個(gè) tan（(a+b)/2)可以暫時(shí)不管，先分別用柯西中值定理處理后然后再看看是否能夠出現(xiàn)那個(gè)式子，如果出現(xiàn)不了的話才考慮其他的，能夠出現(xiàn)，命題基本上可以說(shuō)是得證了！于是下面就是解答過(guò)程拿到這道題目，大家可能都有點(diǎn)傻眼了。怎么表達(dá)式這么復(fù)雜？?。?！而且絕對(duì)值，積分號(hào)，求導(dǎo)號(hào)讓人眼花繚亂，感覺(jué)根本不知道從何下手。我們不妨先從三個(gè)獨(dú)立

4、的表達(dá)式分析起走。第一個(gè)表達(dá)式首先要明白這個(gè)式子說(shuō)的是什么東西。讀懂表達(dá)式，是你做證明題的根本！不難看出，這個(gè)式子說(shuō)的就是|f(x)|的在區(qū)間[a,b]的最大值。寫的這么高深，弄得大家心里發(fā)慌，其實(shí)根本就是一只紙老虎嘛！我們并不關(guān)心最大值在哪一點(diǎn)取得，所以我們可以把取得最大值的這一點(diǎn)設(shè)為 ξ，則這個(gè)式子可以化成|f(ξ)|.你看，這樣一簡(jiǎn)化，是不是顯得更加簡(jiǎn)潔和舒服，讓自己的信心也增加了不少。第二個(gè)表達(dá)式這個(gè)式子對(duì)積分熟悉一點(diǎn)的看見(jiàn)了就

5、應(yīng)該有一種很強(qiáng)烈的反應(yīng)，就是積分中值定理！！所以這個(gè)式子我們也可以簡(jiǎn)化一下成|f(η)|.這樣一來(lái)，不但大大簡(jiǎn)化了表達(dá)式，而且成功的與第一個(gè)表達(dá)式聯(lián)系了起來(lái)！這樣對(duì)題目的認(rèn)知也就在簡(jiǎn)化中一點(diǎn)一點(diǎn)的清晰化了！第三個(gè)表達(dá)式這個(gè)表達(dá)式相對(duì)于前面兩個(gè)來(lái)說(shuō)要復(fù)雜一些，因?yàn)樗鼪](méi)有很好的化簡(jiǎn)方式。所以我們只有暫且不管這個(gè)表達(dá)式，把它作為一個(gè)常量，擺在那里，考慮去處理表達(dá)式 1,2，使得能夠得到表達(dá)式 3！為此，我們將表達(dá)式 1 和表達(dá)式 2 放在一起