含指標(biāo)項(xiàng)半?yún)?shù)回歸模型的估計(jì)與檢驗(yàn).pdf

1、含指標(biāo)項(xiàng)半?yún)?shù)回歸模型是非參數(shù)回歸分析中一類非常重要的統(tǒng)計(jì)模型，主要包括單指標(biāo)模型、部分線性單指標(biāo)模型、變系數(shù)單指標(biāo)模型。這類模型的重要特征是將一個(gè)多元向量轉(zhuǎn)化為一元指標(biāo)，不僅有效地避免了“維數(shù)禍根(Curse ofDimensionality)”問題，而且仍能捕捉到高維數(shù)據(jù)的重要特征。因此，對此類半?yún)?shù)模型的統(tǒng)計(jì)推斷是多元非參數(shù)回歸的重要問題，是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問題，也是本文要研究的主要問題。
　　 首先，我們研究了單指標(biāo)模型(

2、Single-Index Model)指標(biāo)參數(shù)的檢驗(yàn)問題。單指標(biāo)模型可表述為其中Y∈R是應(yīng)變量，X=(X1，···，Xq)T∈Rq是協(xié)變量，αo=(α01，…，αOq)T是Rq上的未知指標(biāo)參數(shù)且為了模型的可識(shí)別性滿足‖α0‖=1，α0(.)是未知的可測函數(shù)，稱為指標(biāo)函數(shù)；誤差ε獨(dú)立于X且E(ε)=0和Var(ε)=α2．在上述的半?yún)?shù)模型的檢驗(yàn)問題中，通常的極大似然比檢驗(yàn)可能不存在，主要是因?yàn)槲粗瘮?shù)α0(.)的最大似然估計(jì)（Maxim

3、um Likelihood Estimator）并不存在，即便它是存在的，但其相應(yīng)的極大似然比檢驗(yàn)也不是最優(yōu)的，為此，F(xiàn)an et al.(2001)提出了廣義似然比(GeneralizedLikelihood Ratio)檢驗(yàn)，簡記為GLR檢驗(yàn)，并得到了非參數(shù)類型的Wilks定理，本文則利用GLR檢驗(yàn)方法研究了單指標(biāo)模型中指標(biāo)參數(shù)αo的檢驗(yàn)，建立了相應(yīng)的GLR檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并證明了該統(tǒng)計(jì)量漸近服從X2分布，不僅在含指標(biāo)項(xiàng)半?yún)?shù)回歸模型中

4、揭示了新的Wilks現(xiàn)象，而且擴(kuò)大了GLR檢驗(yàn)的適用范圍。我們的模擬研究表明所提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表現(xiàn)出了較優(yōu)的功效。
　　 其次，在本論文中我們研究了部分線性單指標(biāo)模型(Partially Linear Single-IndexModel)的估計(jì)與檢驗(yàn)問題，主要包括模型的剖面最小二乘估計(jì)(Profile Least-SquaredEstimators)、指標(biāo)參數(shù)與線性部分參數(shù)的檢驗(yàn)。部分線性單指標(biāo)模型首先由Carroll etal

5、.(1997)提出并研究的，它是上述單指標(biāo)模型的推廣，可表述為其中Z=（Z1，…，Zp）T∈RP是協(xié)變量，β0=（β0l，…，β0p）T是Rp上的未知參數(shù)，誤差ε獨(dú)立于X和Z，其他條件同上面的單指標(biāo)模型。本文提出了模型中未知量的剖面最小二乘估計(jì)(Profile Least-Squares Estimators)，證明了所給估計(jì)漸近服從正態(tài)分布；建立在剖面最小二乘估計(jì)的基礎(chǔ)上，利用GLR檢驗(yàn)方法給出在一定限制條件下的指標(biāo)參數(shù)α0和線性參數(shù)

6、β0的檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并證明了該統(tǒng)計(jì)量漸近服從X2分布，模擬例子表明剖面最小二乘估計(jì)表現(xiàn)較優(yōu)，所提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的功效表現(xiàn)較好，揭示了新的Wilks現(xiàn)象。
　　 再次，在本論文中我們將研究變系數(shù)單指標(biāo)模型(Varying-Coefficient Single-IndexModel)的檢驗(yàn)問題，主要包括指標(biāo)參數(shù)、指標(biāo)函數(shù)以及函數(shù)系數(shù)的檢驗(yàn)。為了研究環(huán)境污染對呼吸疾病的影響，同時(shí)考慮到呼吸疾病的發(fā)病與氣候有一定關(guān)系，五種空氣污染物

7、（二氧化硫、二氧化氮、一氧化氮、臭氧、可吸入的空氣塵埃）和兩個(gè)氣候指標(biāo)（溫度、濕度）被認(rèn)為是引起呼吸疾病的主要因素，Wong et al.(2008)引入了變系數(shù)單指標(biāo)模型，即這里a(.)=(a1(.)，…，ap(.))T是未知的函數(shù)系數(shù)，U∈R是一協(xié)變量，誤差變量￡與X、Z獨(dú)立，其他條件同上面的單指標(biāo)模型。他們探討了這些因素對呼吸疾病的影響。由于單指標(biāo)變系數(shù)模型中指標(biāo)函數(shù)和系數(shù)函數(shù)具有不同的自變量，這些特點(diǎn)為模型的估計(jì)和檢驗(yàn)帶來了極大

8、的困難。Wong et al.(2008)結(jié)合局部線性方法和回切技巧給出了該模型的參數(shù)和非參數(shù)估計(jì)以及估計(jì)的計(jì)算方法，并且討論了它們的大樣本和小樣本性質(zhì)，以及該模型在大眾衛(wèi)生方面的應(yīng)用。而本文則利用GLR檢驗(yàn)方法研究了關(guān)于此模型的指標(biāo)函數(shù)ao(.)是否具有線性形式的檢驗(yàn)問題，以及系數(shù)函數(shù)a(.)是否隨協(xié)變量U可變的檢驗(yàn)問題，也研究了指標(biāo)參數(shù)ao的檢驗(yàn)問題，本文證明了所提出的GLR檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近服從X2分布，模擬與實(shí)際例子研究表明所提檢