兩種類型分紅問題及常利率更新模型研究.pdf

1、古典風(fēng)險(xiǎn)模型是一個(gè)時(shí)齊的具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性質(zhì)的隨機(jī)過程，這一模型首先是有瑞典經(jīng)算師FilipLundberg于1903年的博士論文中提出，隨后由瑞典的精算師HaraldCramer對(duì)這一模型進(jìn)行了嚴(yán)格數(shù)學(xué)化處理，使之建立在嚴(yán)格的隨機(jī)過程理論之上，所以古典風(fēng)險(xiǎn)模型也稱為L(zhǎng)undberg-Cram&模型(簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)-C模型)。對(duì)L-C模型的研究已經(jīng)經(jīng)歷了一百多年的歷史，目前已基本趨于完善，幾近完美，各種保險(xiǎn)精算量都得到完整精確的分析表達(dá)式。本

2、論文致力于將L-C模型發(fā)展為以下幾種不同風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行研究，它們包括：帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型，常利率更新風(fēng)險(xiǎn)模型，經(jīng)濟(jì)環(huán)境下帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型，帶擾動(dòng)的常利率更新風(fēng)險(xiǎn)模型。主要研究了帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型的精算診斷量的聯(lián)合分布以及在兩種不同分紅策略下的累計(jì)折現(xiàn)分紅；常利率更新風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu罰金函數(shù)，以及經(jīng)濟(jì)環(huán)境下帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率的上界估計(jì)和保費(fèi)計(jì)算公式。 本論文由三部分組成：(1)帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型；(2)兩

3、種類型的分紅問題；(3)常利率更新風(fēng)險(xiǎn)模型。 我們首先研究了帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型。由于帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型可以看成一個(gè)古典風(fēng)險(xiǎn)模型與一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)的和，或者是一個(gè)帶漂移布朗運(yùn)動(dòng)與一個(gè)復(fù)合Possion過程的和，所以對(duì)帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型我們從研究(帶漂移)布朗運(yùn)動(dòng)入手，在第一章分別得到帶漂移布朗運(yùn)動(dòng)的幾種極大值與極小值的概率分布函數(shù)的分析表達(dá)式；布朗運(yùn)動(dòng)關(guān)于雙側(cè)逐段線性邊界的首出時(shí)分布；資產(chǎn)與負(fù)債為幾何布朗運(yùn)動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率及最值

4、分布。受Wuetal.(2003)，ZhangandWang(2003)等文章的啟發(fā)，利用帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型的強(qiáng)Markov性，Levy過程的許多特性，比如獨(dú)立增量性和時(shí)空齊次性，特別是布朗運(yùn)動(dòng)的各種特性以及前面得到的有關(guān)(帶漂移)布朗運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，首次得出了這個(gè)模型中八個(gè)有重要實(shí)際意義的精算診斷量的聯(lián)合分布的明確表達(dá)式，它們包括破產(chǎn)時(shí)，末離時(shí)，破產(chǎn)后到余額首次恢復(fù)為非負(fù)的時(shí)間，破產(chǎn)前瞬間盈余，破產(chǎn)時(shí)赤字，破產(chǎn)前最大盈余，破產(chǎn)后到余額首次

5、恢復(fù)為非負(fù)這段時(shí)間的最大赤字，破產(chǎn)后到末離時(shí)之前的最大盈余，這是帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型中納入重要精算診斷量最多的一個(gè)聯(lián)合分布。 論文第二章主要研究帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問題。分紅問題是聯(lián)系金融和保險(xiǎn)兩方面的重要研究課題，是當(dāng)前國(guó)際上風(fēng)險(xiǎn)理論研究的熱點(diǎn)之一。Gerber-Shiu(2004，2005b)對(duì)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)模型做了研究，受他們的啟發(fā)，我們主要研究帶擾動(dòng)的古典風(fēng)險(xiǎn)模型，由于該模型是在前述模型的基礎(chǔ)上追加了索賠(即隨機(jī)跳)

6、項(xiàng)，使問題的研究變得更加困難，不能沿用GerberandShiu(2004，2005b)的方法去做。由于所研究的模型是軌道右連續(xù)的Markov過程，同時(shí)又是Levy過程，我們充分利用了它所具有的這種特性，首先證明了第一種分紅策略下的累計(jì)折現(xiàn)分紅函數(shù)，在索賠分布密度函數(shù)連續(xù)時(shí)，關(guān)于初始余額的二次連續(xù)可微性；受GerberandShiu(2004)的啟發(fā)，獲得了它以及修正余額過程的破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換所滿足的積分微分方程，并用完全不同

7、于GerberandShiu(2004)的方法求出了它們的精確解，在求得的解的卷積表達(dá)式中去掉隨機(jī)跳(即讓Possion索賠記數(shù)過程{N(t)，t≥0)的參數(shù)λ=0)以后所得結(jié)果與GerberandShiu(2004)的結(jié)果完全一致。受GerberandShiu(2005b)的啟發(fā)，用類似的方法，研究了帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型在第二種分紅策略下的累計(jì)折現(xiàn)分紅，破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換，累計(jì)折現(xiàn)分紅的矩母函數(shù)等問題，得到上述量的分析表達(dá)式，推

8、廣了GerberandShiu(2004，2005b)的相應(yīng)結(jié)果。 本論文第三章主要研究了常利率更新風(fēng)險(xiǎn)模型.眾所周知，更新風(fēng)險(xiǎn)模型是一類比古典風(fēng)險(xiǎn)模型更為廣泛的風(fēng)險(xiǎn)模型，致力研究的人很多。但是令人遺憾的是對(duì)此模型的研究進(jìn)展不大，就破產(chǎn)概率而言可以利用隨機(jī)游動(dòng)的梯度高度，得到一個(gè)公式，但是如何計(jì)算梯度高度目前并沒有一般的方法解決，僅僅對(duì)一些特殊的索賠分布能夠求出；至于最重要Gerber-Shiu罰金函數(shù)(聯(lián)系三個(gè)重要精算量)也僅

9、僅導(dǎo)出了它所滿足的方程。當(dāng)前在風(fēng)險(xiǎn)模型中增加經(jīng)濟(jì)環(huán)境研究十分重要，自然最直接的就是研究常利率更新模型。由于更新模型本身研究還不深入，所以對(duì)常利率更新模型的研究更加困難，目前僅有CaiandDickson(2003)給出了破產(chǎn)概率的上界估計(jì)式，可以說(shuō)對(duì)常利率更新模型的研究既沒有得到令人滿意的結(jié)果，也沒有特別有效的解決問題的方法，這種情況極大地激發(fā)了我們研究這一模型積極性。 受Wuetal.(2005)論文的啟發(fā)，使用了完全不同于別

10、人的方法，在一般的情況下導(dǎo)出了重要的Gerber-Shiu罰金函數(shù)的精確解析表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出著名保險(xiǎn)精算學(xué)家Dickson(2002)關(guān)于常利率古典風(fēng)險(xiǎn)模型所導(dǎo)出的方程，并回答了他的open問題，隨后給出了破產(chǎn)概率上下界估計(jì)式并且證明了Gerber-Shiu公式(見GerberandShiu，1998，(2.40))對(duì)于常利率更新風(fēng)險(xiǎn)模型亦然成立。尤為重要的是從常利率更新問題的研究中我們尋找到一個(gè)解決更新模型的有效途徑，它不僅可

11、以解決常利率更新模型，而且可以用于解決隨機(jī)利率的更新問題。本章最后一部分，我們討論了經(jīng)濟(jì)環(huán)境下帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型，此模型是在古典風(fēng)險(xiǎn)模型基礎(chǔ)之上考慮到利息力度與物價(jià)上漲力度，同時(shí)增加一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)-布朗運(yùn)動(dòng)，它在實(shí)際資產(chǎn)運(yùn)行過程中表示保險(xiǎn)公司所獲得的一項(xiàng)不確定收入或支出。我們知道古典風(fēng)險(xiǎn)模型具有非常優(yōu)良的性質(zhì)，比如平穩(wěn)獨(dú)立增量性，時(shí)齊強(qiáng)Markov性，Levy過程的時(shí)空齊次性等才使得古典風(fēng)險(xiǎn)模型的問題研究得到比較徹底的解決，受此啟發(fā)，首

12、先討論此過程所具有的性質(zhì)，利用指數(shù)分布無(wú)記憶性，以及單調(diào)類定理證明了經(jīng)濟(jì)環(huán)境下帶擾動(dòng)古典風(fēng)險(xiǎn)模型仍然具有獨(dú)立增量性，但是不再具有增量平穩(wěn)的性質(zhì)；并且得到了其增量的特征函數(shù)的明確表達(dá)式，這為我們下一步進(jìn)行保費(fèi)計(jì)算公式的推導(dǎo)提供了保證。然后通過構(gòu)造一個(gè)指數(shù)鞅，利用可選停時(shí)定理，獲得有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一個(gè)上界，推廣了Gerber(1973)的相關(guān)結(jié)果。隨后討論了此模型下的保費(fèi)計(jì)算問題，根據(jù)各種不同的保費(fèi)計(jì)算原理：平衡原理，期望值原理，指數(shù)函數(shù)