幾類反應(yīng)擴(kuò)散問題的定性分析.pdf

1、反應(yīng)擴(kuò)散方程或方程組常用于物理、化學(xué)、生態(tài)等學(xué)科中一些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模，其各類解的存在性及其動力學(xué)性態(tài)一直是微分方程理論研究和應(yīng)用問題研究的重要課題．本博士學(xué)位論文主要研究了四類非線性反應(yīng)擴(kuò)散模型：受水流作用的水生生物模型、遷移和自然選擇共同作用的基因演化模型、種群入侵演化模型及帶雙自由邊界的燃燒模型，其中前兩個模型是固定區(qū)域上的反應(yīng)擴(kuò)散問題，后兩個模型是移動區(qū)域上的反應(yīng)擴(kuò)散問題．借助定性分析、最大值原理、比較原理、譜理論、分支理論和

2、上下解方法等理論工具，探討這些反應(yīng)擴(kuò)散問題中的一些參數(shù)如：擴(kuò)散系數(shù)、對流系數(shù)、區(qū)域度量、初值大小、邊界移動參數(shù)等對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，得到了參數(shù)域的剖分以及不同參數(shù)域內(nèi)相應(yīng)系統(tǒng)的不同動力學(xué)性態(tài)，揭示了參數(shù)值相應(yīng)的不同環(huán)境對實(shí)際問題產(chǎn)生的本質(zhì)作用．理論上推廣或完善了前人的工作，發(fā)展了處理這類問題的方法和技巧．應(yīng)用上解釋了一些觀察到的實(shí)際現(xiàn)象，為理解這些實(shí)際問題的演化機(jī)制提供了理論依據(jù)．具體研究內(nèi)容分為如下四個部分：
　　生活在溪流

3、或河流中的水生生物，在水流作用下不斷被沖到下游或沖出原有的生態(tài)環(huán)境，從而導(dǎo)致物種數(shù)量下降甚至滅絕，但也有一些物種能在這種環(huán)境里一代一代生存下來，這類生物現(xiàn)象常被稱為“漂移悖論”(drift paradox)，早在1954年就被Muller[123]觀察到．人們一直致力于探索這類物種能夠持續(xù)生存的機(jī)制，并試圖通過數(shù)學(xué)建模幫助理解這一生物現(xiàn)象．2001年，Speirs Gurney[145]用如下反應(yīng)擴(kuò)散對流方程描述某一物種在水流作用下的動

4、力學(xué)行為(此處公式省略)其中d為擴(kuò)散系數(shù)，a為水流速度．通過理論研究對“漂移悖論”給出一種解釋：足夠強(qiáng)的隨機(jī)擴(kuò)散能夠平衡掉水流引起的偏向性運(yùn)動，從而幫助物種持續(xù)生存．2011年，Vasilyeva，Lutscher[149]研究了相同的方程，但假設(shè)下游滿足Neumann邊界條件，即Ur(L，l)=o，并得到類似結(jié)論．近來，Lutscher，Lewis，Mccauley[111]推導(dǎo)出下游滿足更一般的邊界條件，dur(L，l)一au(L，

5、l)=-bau(L，l)，其中參數(shù)b表示相對于水流作用的一種損失率，并且b取不同值可以反映出不同的河流環(huán)境特征，如b=0說明下游沒有損失，對應(yīng)上游的“無流”邊界條件；b=1說明下游處水流引起百分百損失，對應(yīng)Neumman邊界條件；b→∞說明下游損失很嚴(yán)重，不利于物種生存，對應(yīng)Dirichlet邊界條件．本論文第二章的第一部分研究了滿足這種一般邊界條件的上述單個方程．通過建立臨界區(qū)域長度和臨界水流速度，我們給出了單個物種持續(xù)生存的充分必要

6、條件，并發(fā)現(xiàn)b=1/2是該問題動力學(xué)行為發(fā)生轉(zhuǎn)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)．進(jìn)一步，為了探索對流環(huán)境中的擴(kuò)散機(jī)制，本章第二部分研究了相應(yīng)的一類兩個物種競爭模型，并假設(shè)兩個物種僅擴(kuò)散速度不同．借助譜理論和一些分析技巧，我們得到了0≤b<1時系統(tǒng)的全局動力學(xué)性態(tài)，結(jié)論表明擴(kuò)散慢的物種一定被取代，增加擴(kuò)散速度更適合自然選擇，推廣了Lou，Lutscher[105]中b=1的結(jié)果；然而b>1時，系統(tǒng)的動力學(xué)行為變得很不同，特別地，我們說明了b>3/2時，適中的擴(kuò)

7、散速度有可能被選擇．這里我們指出由于邊界條件中參數(shù)b的引進(jìn)，半平凡解的穩(wěn)定性不能通過文獻(xiàn)[105]中的方法得到，然而本章給出的方法可同樣處理情形6=1．另外，為了得到0≤6<1時系統(tǒng)的全局動力學(xué)性態(tài)，共存解的不存在性是一個難點(diǎn)，我們發(fā)展了新的方法和數(shù)學(xué)技巧來克服這一難點(diǎn)．這一研究成果已發(fā)表，見附錄二論文1．
　　基因遺傳演化規(guī)律是群體遺傳學(xué)理論研究的核心．自1937年Fisher[56]首次提出用偏微分方程描述在遷移和自然選擇共同

8、作用下基因頻率變化規(guī)律以來，大量非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程被用來描述基因的演化過程，其中常用的一類描述兩種等位基因頻率變化的PDE模型如下([125])（此處公式省略）分別表示遷移和自然選擇作用，h用來衡量占優(yōu)程度：|h|<1，沒有占優(yōu)，共顯；|h|=1，完全占優(yōu)，完全顯性；|h|>1，絕對占優(yōu)，超顯性．早期，F(xiàn)leming[57](1975)和Senn[138](1983)分別用泛函和分支理論研究了|h|<1時該模型非平凡穩(wěn)態(tài)解的存在性和穩(wěn)定

9、性．最近，倪維明教授等人發(fā)表了系列工作『127，llo]，系統(tǒng)地研究了退化情形h=-1，得到了非平凡穩(wěn)態(tài)解的存在性，穩(wěn)定性，以及極限形態(tài)與平凡解u=0和u=1的關(guān)系，而且他們的研究方法可統(tǒng)一處理|h|≤1的情形．本論文第三章在他們的工作基礎(chǔ)上研究了|h|>1的情形．與|h|≤1不同的是此時系統(tǒng)出現(xiàn)三個有生物意義的平凡解：u=0，u=(1/h)/2h和u=1．類似于前人工作，我們得到非平凡穩(wěn)態(tài)解的存在性，穩(wěn)定性，以及極限形態(tài)與這三個平凡解

10、之間的關(guān)系，但也觀察到一些不同現(xiàn)象，如：通過構(gòu)造一個具體實(shí)例，我們說明當(dāng)遷移很慢，即d很小時，該問題有一組非平凡解圍繞u=1+h/2h不斷振蕩，從而沒有極限形態(tài)．進(jìn)一步我們借助譜分析，分支理論和上下解方法，較全面地分析了該系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài)，結(jié)果表明fOg(x)dx的符號和遷移速度d的大小對基因頻率的分布至關(guān)重要，并且當(dāng)h→-1時，我們的結(jié)果與[127，110]相關(guān)結(jié)論一致．這一研究成果已發(fā)表，見附錄二論文3．
　　生物種群入侵問題

11、是生態(tài)學(xué)研究中的一個重要問題．2010年，杜一宏教授等人[44，40]用自由邊界問題來描述入侵種群向外擴(kuò)張變化的過程，提出并系統(tǒng)研究了如下模型(此處公式省略)其中自由邊界x=h(l)表示擴(kuò)張前沿．文獻(xiàn)[44]假設(shè)空間環(huán)境齊次，即m(x)三mo>o，證明了入侵種群滿足二分法：要么成功“擴(kuò)張”(h(t)→∞)且u-m0)，要么最終“滅絕”(此處公式省略)，并通過參數(shù)h0和μ基于這種考慮，本論文第四章考慮了一類空間環(huán)境強(qiáng)異質(zhì)情形，即m(x)可

12、以改變符號，此時研究主特征值關(guān)于參數(shù)h0的變化規(guī)律變得十分困難，文獻(xiàn)[40，44]中通過參數(shù)h0研究種群“擴(kuò)張’’或“滅絕”的方法不再適用．我們將擴(kuò)散系數(shù)D視為變化參數(shù)，并分析清楚了主特征值關(guān)于參數(shù)D的變化規(guī)律，從而結(jié)合上下解方法給出入侵種群“擴(kuò)張”或“滅絕”的充分條件．這一思路同樣適用于弱異質(zhì)情形，我們得到了入侵種群“擴(kuò)張”或“滅絕”的充要條件，這與[40]中結(jié)論平行．另外，在更一般的假設(shè)條件下，我們得到了自由邊界的漸近速度，推廣了前

13、人的工作．這些理論結(jié)果表明慢擴(kuò)散總是有利于種群入侵成功，而擴(kuò)散較快時，種群能否入侵成功與其初始密度u0。和邊界移動參數(shù)μ局部化反應(yīng)項(xiàng)和雙自由邊界的燃燒模型(此處公式省略)(事實(shí)上，燃燒理論中非局部化反應(yīng)項(xiàng)有多種類型，關(guān)于空間變量積分只是其中一種，詳細(xì)可參考綜述性文章[143]．)非局部化反應(yīng)項(xiàng)帶來一定的研究困難，一方面它使原先的能量方法失效，需要尋找其他方法給出爆破條件；另一方面，由于它含有自由邊界g(l)和h(l)，這使得解的一些先驗(yàn)