映射級數(shù)及其相關(guān)理論.pdf

1、在泛函分析的基礎(chǔ)理論中,關(guān)于映射級數(shù)的收斂性的討論,一般說來有兩個(gè)方面.其一,針對各種形式的收斂(例如,子級數(shù)收斂,乘數(shù)收斂等),討論相關(guān)的對偶不變量或者全程不變量.這一方面,最具代表性的結(jié)論就是各種版本的Orlicz-Pettis型定理.其二,針對各種各樣的序列空間,討論其上映射級數(shù)的逐點(diǎn)收斂性或一致收斂性.這一方面,典型的結(jié)論是關(guān)于序列賦值收斂的最強(qiáng)內(nèi)蘊(yùn)意義以及矩陣類的刻劃等.縱觀現(xiàn)有的已經(jīng)成形的結(jié)論,前者大部分是關(guān)于線性映射的;而

2、后者通常是建立在Banach空間上的.因此,本文分別從映射和空間的角度,對以下問題進(jìn)行了探討:
　　首先,對某些版本的Orlicz-Pettis定理進(jìn)行了改進(jìn). Orlicz-Pettis型定理是泛函分析的歷史中最具趣味性和實(shí)用性的定理之一.原始的Orlicz-Pettis定理是說在賦范線性空間中,級數(shù)如果依弱拓?fù)涫亲蛹墧?shù)收斂的,那么依范數(shù)拓?fù)湟彩亲蛹墧?shù)收斂的.第一個(gè)Orlicz-Pettis型定理是1929年建立起來的.至今,該

3、定理分別在空間(如局部凸空間,具有Schauder基的拓?fù)渚€性空間,算子空間等),在收斂形式(如乘數(shù)收斂,子級數(shù)統(tǒng)計(jì)收斂等),在拓?fù)?如Mackey拓?fù)?強(qiáng)拓?fù)涞?等方面都取得了重要的改進(jìn).本文對乘數(shù)空間給出了相關(guān)的性質(zhì),建立了關(guān)于乘數(shù)收斂級數(shù)和雙準(zhǔn)齊性算子的Orlicz-Pettis型定理,并討論了對現(xiàn)有版本的改進(jìn)情況。
　　其次,在局部凸空間上探討了序列賦值收斂的最強(qiáng)內(nèi)蘊(yùn)意義.關(guān)于經(jīng)典的Banach序列空間c0(X)、lp(X

4、)(0< p<+∞)和l∞(X),相應(yīng)的結(jié)論已被建立.由于局部凸空間上的拓?fù)淇梢钥闯墒怯梢蛔灏敕渡傻?因此可以在局部凸空間上利用半范族定義各種各樣的向量值序列空間.本文對局部凸空間X上的c0(X)、lp(X)(0< p<+∞)和l∞(X),研究了相應(yīng)的序列賦值收斂的最強(qiáng)內(nèi)蘊(yùn)意義,并試圖應(yīng)用到更多的序列空間上去.
　　再次,給出了某些特殊的非線性算子矩陣類的一般刻劃.在矩陣變換的經(jīng)典理論中,一個(gè)基本問題是如何刻劃一類由一個(gè)序列空間

5、(或僅僅是序列的集合)到另一個(gè)序列空間(或序列的集合)的映射矩陣.對Banach空間上的線性算子矩陣類的刻劃已經(jīng)基本完善.而對于拓?fù)渚€性空間上的向量值序列空間,關(guān)于非線性映射矩陣類的刻劃,還有很多有待研究的地方.本文針對拓?fù)渚€性空間上的向量值序列空間上的不同的假定,分別給出了關(guān)于準(zhǔn)齊性算子或者在零點(diǎn)值為零的非線性算子的矩陣類的刻劃.
　　最后,討論了具有非平凡半線性對偶的拓?fù)渚€性空間的存在性.局部凸空間上已經(jīng)有了完善的對偶理論.但