帶幾何約束的細分曲線曲面與細分參數(shù)化.pdf

1、隨著計算機技術的普及和應用的日益廣泛，細分方法在近年來已經成為計算機輔助設計(CAD)和計算機圖形學(CG)領域內的一個國際研究熱點．近三十年來已有多種細分方法被相繼提出，然而大多數(shù)細分方法難以控制極限曲線曲面的形狀與位置，不能滿足帶約束條件的幾何形狀設計與精密機械設計的要求．為此，本文討論了帶幾何約束條件的細分曲線曲面設計問題，通過控制松弛參數(shù)的值使極限曲線滿足給定的弧長要求；局部地修改細分規(guī)則使極限曲線曲面滿足局部插值的要求．并基于

2、細分曲面的逼近性質給出了一種快速有效的曲面參數(shù)化方法． 本文首先回顧了細分造型方法的發(fā)展概況與歷史，然后對細分領域內多方面的國際研究成果及其應用進行了評述．介紹了細分的連續(xù)性分析方面的理論成果，并對幾種常見的細分方法，特別是本文工作中經常用到的四種四點逼近細分方法進行了描述．在實際的工業(yè)產品外形設計中，常常要求滿足若干幾何或物理的約束條件，例如飛機的進氣管道需要滿足面積的要求，飛機、船舶的表面有流體力學方面的要求，甚至還要考慮美

3、學．在計算機動畫中，為了真實自然地模擬物體變形，應盡可能地保持物體骨架的長度不變．本文針對四種新近提出的四點逼近細分方法，抓住松弛參數(shù)對極限曲線的調節(jié)作用，討論了帶弧長約束的細分曲線設計問題．首先給出了弧長約束的細分曲線設計問題的解存在的一個充分條件．并將四種四點逼近細分方法推廣到非靜態(tài)的細分模式，給出了非靜態(tài)四點逼近細分C<'1>光滑的充分條件．針對弧長約束的細分曲線設計問題，發(fā)現(xiàn)了退化與強退化的控制多邊形，以及(強)退化控制多邊形之

4、間的遞推關系．利用弧長約束的曲線細分方法，給出了一種生成精確圓周的算法，使得旋轉面的離散設計變得更加簡單． 根據(jù)細分曲線曲面與控制網(wǎng)格的關系。細分方法可以分為兩類：插值細分與逼近細分．對于插值細分方法，由于每一步細分都保留舊一層網(wǎng)格的頂點，對于有擾動的初始數(shù)據(jù)會產生不光順的曲線曲面．因此幾何造型中常常采用逼近型的細分方法．但是機械設計等工程中的曲線曲面設計通常有局部插值的要求，因此第三種四點逼近細分的基礎上討論了帶局部插值約束條

5、件的四點逼近細分方法(稱為修改的四點逼近細分)．類似于NURBS曲線具有端點插值的性質，修改的四點逼近細分可以插值任何一個初始控制頂點．除了被插值點外，修改的四點逼近細分方法具有C<'2>光滑度，而在被插值點處可達C<'1>光滑．利用修改的四點逼近細分方法，提出了一種細分曲線或曲面的G<'1>拼接條件．能夠處理任意拓撲類型的網(wǎng)格是細分方法的一大優(yōu)點，本文將第三種四點逼近細分格式推廣到了能夠處理任意拓撲網(wǎng)格的曲面細分格式．這種新的細分格式

6、在正規(guī)點處為C<'2>光滑，在奇異點處達到C<'1>光滑．而且還可以通過調節(jié)松弛參數(shù)來調整極限曲面的形狀．特別地，當松弛參數(shù)取值為0時、新的曲面細分格式就是著名的Catmull-Clark細分格式<'[5]>．在新的逼近曲面細分格式的基礎上，本文提出了能夠超限插值于給定的C<'1>光滑參數(shù)曲線的細分方法．極限曲面在被插值曲線和奇異點上為C<'1>光滑，其它位置為C<'2>光滑．區(qū)別于已有的局部插值細分方法，該方法既可以在曲面邊界上也可以

7、在曲面內部插值于一條任意給定的C<'1>光滑的參數(shù)曲線．三角網(wǎng)格曲面參數(shù)化以其在紋理映射技術、散亂數(shù)據(jù)擬和、多尺度網(wǎng)格編輯等方面的重要應用而成為CAGD中研究的熱點問題． 本文中，利用細分曲面的逼近性質，給出了一種新的基于細分曲面逼近的三角網(wǎng)格曲面片的參數(shù)化方法．首先證明了第三種四點逼近細分方法可以逼近-C<'2>光滑的曲線到二階精度，這與經典的三次B-樣條細分，四點插值細分<'[6]>具有相同的逼近階．然后給出了一個細分曲面片

8、的逼近算法，極限曲面由Catmull-Clark細分格式、張量積形式的四點插值細分和修改的四點逼近細分方法產生．數(shù)值實驗表明，修改的四點逼近細分方法生成的極限曲面在。Hausdorff度量下可以更好地逼近三角網(wǎng)格曲面．對一個三角網(wǎng)格曲面片，首先計算出充分逼近它的細分曲面，然后對每一個三角網(wǎng)格點，在細分曲面上搜索Hausdorff度量下距離最近的點，用該點的自然參數(shù)作為三角網(wǎng)格頂點上的參數(shù)值．該方法可以看作是曲線累加弦長參數(shù)化的推廣，其效