極限的運算

1、極限的運算一極限的四則運算法則定理：若，，則有??Axf?lim??Bxg?lim（１）??????????xgxfBAxgxflimlimlim?????（２）??????????xgxfABxgxflimlimlim????（３），（）????????xgxfBAxgxflimlimlim??0?B注意：法則(1)和法則(2)可以推廣到有限個函數的情況。另外，法則(2)還有三個推論。推論：（１），(為常數)????xfkxkflim

2、lim?k（２），（為正整數）????????nxfnxflimlim?n（３），（為正整數）????????nnxfxf11limlim?n例１??235lim22???xxx???225limxx??xx3lim22lim2?x＝２＝２??22lim5xx??xx2lim3??22)lim(5xx??23＝＝1626252???觀察這個例子可以發(fā)現(xiàn)函數在時的極限正好等于它在這一2352??xx2?x2?x點的函數值，因此，我們可以得

3、到這樣一條規(guī)律：若是多項式，則??xf。????00limxfxfxx??例２＝＝＝＝3512222lim?????xxxxx????35122222limlim??????xxxxxx3252122222??????39?3?例３＝＝０222123limxxxx????????2222123limlimxxxxx?????從以上三個例子可以看出極限四則運算法則的運用是比較簡單的，但是如果我們拿到的極限不滿足極限四則運算法則的條件，就不

4、能用極限的四則運算法則來求極限了。比如以下幾種情況：③【在中，，。常見的有以下兩種情況】????xgxflim????xflim????xglimＡ.，均為多項式??xf??xg例１＝＝1332222lim?????nnnn2213322limnnnn?????32例２＝＝０13124423lim?????xxxx44213124limxxxxx?????例３＝xxxx781223lim??????????237812limxxxx可以

5、看到，在這種情況下，我們采用的方法是在分子、分母中同時除以的最高次冪，x然后再求極限。總結以上三個例子可以發(fā)現(xiàn)，在這種情況下有如下規(guī)律：當分子、分母中的最高次冪相同時，極限為分子、分母最高次冪的系數的比，是常數；當分子的次數高x于分母的次數時，極限為無窮大；當分子的次數低于分母的次數時，極限為零。Ｂ.或中含有根式??xf??xg例１＝＝０uuu?????1143lim111144lim????uuuu④【在中，，】??????xgxf?