中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用5

1、第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從第二章第一節(jié)的前言中已經(jīng)知道導(dǎo)致微分學(xué)產(chǎn)生的第三類問題是“求最大值和最小值”.此類問題在當(dāng)時的生產(chǎn)實踐中具有深刻的應(yīng)用背景例如求炮彈從炮管里射出后運行的水平距離(即射程)其依賴于炮筒對地面的傾斜角(即發(fā)射角).又如在天文學(xué)中求行星離開太陽的最遠(yuǎn)和最近距離等.一直以來導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率在研究函數(shù)變化的性態(tài)中有著十分重要的意義因而在自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會科學(xué)等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用.在第二章中我們介紹了微分學(xué)

2、的兩個基本概念—導(dǎo)數(shù)與微分及其計算方法.本章以微分學(xué)基本定理—微分中值定理為基礎(chǔ)進(jìn)一步介紹利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)例如判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性求函數(shù)的極限、極值、最大(小)值以及函數(shù)作圖的方法最后還討論了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.第一節(jié)第一節(jié)中值定理中值定理中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系因而稱為中值定理.中值定理既是用微分學(xué)知識解決應(yīng)用問題的理論基礎(chǔ)又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的一種理論性模型因而稱為微分中值

3、定理.內(nèi)容分布圖示內(nèi)容分布圖示★費馬引理★羅爾定理★例1★例2★例3★例4★例5★例6★拉格朗日中值定理★例7★例8★例9★例10★柯西中值定理★例11★例12★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題31★返回內(nèi)容要點：內(nèi)容要點：一、羅爾定理羅爾定理：在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；在開區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點的函數(shù)值相等即結(jié)論：在(ab)內(nèi)至少存在一點使得).()(bfaf?)(ba????.0)(???f注：羅爾定理的三個條件是十分重要的如果有一個

4、不滿足定理的結(jié)論就可能不成立.分別舉例說明之.羅爾定理中這個條件是相當(dāng)特殊的它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制.拉格朗)()(bfaf?日在羅爾定理的基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步的研究取消了羅爾定理中這個條件的限制但仍保留了其余兩個條件得到了在微分學(xué)中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；在開區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo).結(jié)論：在(ab)內(nèi)至少存在一點使得)(ba????))(()()(abfafbf?????

5、使)10(??)].0()1([2)(fff?????課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.2.若是[ab]上的正值可微函數(shù)則有點使)(xf)10(????.)()()()(lnabffafbf?????羅爾羅爾（Rolle，1652~1719）簡介：羅爾是法國數(shù)學(xué)家。1652年4月21日生于昂貝爾特，1719年11月8日卒于巴黎。羅爾出生于小店家庭，只受過初等教育，且結(jié)婚過早，年輕時貧困潦倒，靠充當(dāng)公證人與律師

6、抄錄員的微薄收入養(yǎng)家糊口，他利用業(yè)余時間刻苦自學(xué)代數(shù)與丟番圖的著作，并很有心得。1682年，他解決了數(shù)學(xué)家奧扎南提出一個數(shù)論難題，受到了學(xué)術(shù)界的好評，從而名身雀起，也使他的生活有了轉(zhuǎn)機(jī)，此后擔(dān)任初等數(shù)學(xué)教師和陸軍部行征官員。1685年進(jìn)入法國科學(xué)院，擔(dān)任低級職務(wù)，到1690年才獲得科學(xué)院發(fā)給的固定薪水。此后他一直在科學(xué)院供職，1719年因中風(fēng)去世。羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面，專長于丟番圖方程的研究。羅爾所處的時代正當(dāng)牛頓、萊布尼

7、茲的微積分誕生不久，由于這一新生事物不存在邏輯上的缺陷，從而遭受多方面的非議，其中也包括羅爾，并且他是反對派中最直言不諱的一員。1700年，在法國科學(xué)院發(fā)生了一場有關(guān)無窮小方法是否真實的論戰(zhàn)。在這場論戰(zhàn)中，羅爾認(rèn)為無窮小方法由于缺乏理論基礎(chǔ)將導(dǎo)致謬誤，并說：“微積分是巧妙的謬論的匯集”。瓦里格農(nóng)、索弗爾等人之間，展開了異常激烈的爭論。約翰.貝努利還諷刺羅爾不懂微積分。由于羅爾對此問題表現(xiàn)得異常激動，致使科學(xué)院不得不屢次出面干預(yù)。直到17

8、06年秋天，羅爾才向瓦里格農(nóng)、索弗爾等人承認(rèn)他已經(jīng)放棄了自己的觀點，并且充分認(rèn)識到無窮小分析新方法價值。羅爾于1691年在題為《任意次方程的一個解法的證明》的論文中指出了：在多項式方程的兩個相鄰的實根之間，方程至少有一個根。一百多年后，即18460)(?xf0)(?xf年，尤斯托.伯拉維提斯將這一定理推廣到可微函數(shù)，并把此定理命名為羅爾定理。拉格朗日拉格朗日（JosephLouisLagrange，1736~1813）簡介：據(jù)拉格朗日本

9、人回憶，幼年家境富裕，可能不會作數(shù)學(xué)研究，但到青年時代，在數(shù)學(xué)家F.A.雷維里（Revelli）指導(dǎo)下學(xué)幾何學(xué)后，萌發(fā)了他的數(shù)學(xué)天才。17歲開始專攻當(dāng)時迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。他的學(xué)術(shù)生涯可分為三個時期：都靈時期（1766年以前）、柏林時期（1766—1786）、巴黎時期（1787—1813）。拉格朗日在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個學(xué)科中都有重大歷史性的貢獻(xiàn)，但他主要是數(shù)學(xué)家，研究力學(xué)和天文學(xué)的目的是表明數(shù)學(xué)分析的威力。全部著作、論文、學(xué)術(shù)報告記