基于有理插值逼近的數(shù)值計(jì)算與圖像修復(fù)的研究.pdf

1、隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,非線性數(shù)學(xué)具有強(qiáng)大的生命力.有理插值與逼近方法作為非線性數(shù)學(xué)的主要分支之一,已在實(shí)際應(yīng)用中顯示出巨大優(yōu)勢(shì)和開發(fā)潛力.連分式插值函數(shù)與Padé逼近是兩個(gè)重要的有理函數(shù),它們比多項(xiàng)式復(fù)雜,但用它近似表示函數(shù)時(shí),卻比多項(xiàng)式靈活,更能反映函數(shù)的一些特性,因此,它們已被應(yīng)用于數(shù)值逼近、函數(shù)近似表示、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)、圖像處理等.本文基于有理插值與逼近的方法,開展了數(shù)值計(jì)算和圖像修復(fù)等方面的研究,不僅豐富了數(shù)值計(jì)算

2、與數(shù)字圖像的處理方法,而且也推動(dòng)有理逼近理論和應(yīng)用的發(fā)展.
　　 本文主要工作可歸納如下:
　　 1.基于Thiele連分式插值方法,構(gòu)造了兩個(gè)新的迭代格式,分別對(duì)它們進(jìn)行了收斂性分析,證明了它們至少四階收斂.并將此兩種迭代格式應(yīng)用于非線性方程求根計(jì)算,且與其它迭代格式進(jìn)行了比較,數(shù)值結(jié)果表明新的高階收斂的迭代格式是可行的.
　　 2.基于Thiele連分式插值重建了經(jīng)典的Halley方法、Chebyshev方法

3、等迭代格式,分別討論了它們的收斂性,證明了在方程有單根情況下它們至少三階收斂,而在重根情況僅僅為線性收斂,并給出數(shù)值實(shí)例與比較.
　　 3.通過(guò)引入兩個(gè)參數(shù)函數(shù),進(jìn)一步給出了一類迭代公式,利用此類公式可以得到很多迭代函數(shù).并對(duì)此類迭代格式進(jìn)行了詳細(xì)的收斂性分析,證明了該公式收斂階數(shù)至少是2.如果選擇合適的參數(shù)函數(shù),還可以得到三階、四階等迭代格式,同時(shí)用定理給出了選擇合適參數(shù)得到高階迭代格式的辦法.通過(guò)大量的數(shù)值比較,說(shuō)明該類迭代

4、格式在應(yīng)用時(shí)可以靈活選擇參數(shù)使得計(jì)算過(guò)程可以完成,而固定的某單一迭代格式就顯得不足.
　　 4.基于Padé有理逼近重建了Halley迭代格式,并借助于差商可以近似表示導(dǎo)數(shù)的辦法,給出了Halley迭代格式的一類變體,證明了此類變體至少是三階收斂的.最后給出了數(shù)值實(shí)例并與其它格式進(jìn)行了比較.
　　 5.在圖像處理方面,主要就數(shù)字圖像修復(fù)方面做了一些工作.一方面,基于連分式插值函數(shù),討論了連分式用于圖像修復(fù).在文獻(xiàn)([Hu

5、03])中,混合連分式插值重建圖像時(shí)遇到有理函數(shù)存在性、奇異點(diǎn)問(wèn)題并給出了新的Thiele型有理插值算法。我們采用該算法,將二元混合連分式插值應(yīng)用到圖像修復(fù)過(guò)程,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該方法是可行的.另一方面,在文獻(xiàn)([Cri04])的基礎(chǔ)上,結(jié)合偏微分的方法改進(jìn)了A.Criminisi算法,該改進(jìn)的方法引入曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散的算法模型(CDD)來(lái)計(jì)算合理的信心度和數(shù)據(jù)條件.首先,在數(shù)據(jù)條件的計(jì)算方法中,克服了單一的依靠等照度線信息來(lái)計(jì)算數(shù)據(jù)條件的弊