解決排列組合問題的九種方法

1、<p>　　解決排列組合問題的九種方法</p><p>　　排列組合是高中數(shù)學(xué)的重點和難點內(nèi)容之一，也是求解概率問題的基礎(chǔ)。排列組合問題不僅內(nèi)容抽象、題型多樣，而且解法靈活，不易掌握。解答排列組合問題時，要注意分析題型類別，抓住問題的本質(zhì)，采取恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚韱栴}。下面介紹求解排列組合問題的常用方法，供大家學(xué)習(xí)時參考。 </p><p>　　一、為數(shù)不多問題枚舉法 </p&

2、gt;<p>　　例1設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子，現(xiàn)將這5個球投入5個盒子，要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？ </p><p>　　分析先選出球號和盒子號相同的兩個號碼，有C25種選法，再將剩余的按照球號和盒子號都不同的條件一一枚舉出來，結(jié)合分步計數(shù)原理求解即可。 </p><p>　

3、　解從5個球中取出2個與盒子對號有C25種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，所以剩下三個球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2C25=20種。 </p><p>　　點評對于某些難以理解的排列組合問題，由于其結(jié)果數(shù)字不是很大，且不易用公

4、式進行運算，此時利用枚舉法（尤其是樹圖法）將其一一列舉出來，會收到意想不到的結(jié)果。 </p><p>　　二、復(fù)雜問題分類討論法 </p><p>　　點評解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。 </p><p>　　三、特殊位置（元素）優(yōu)先法 </p><p>　　例3（2012年全國

5、大綱卷?文7）6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序共有（） </p><p>　　A.240種B.360種C.480種D.720種 </p><p>　　分析本題可從元素進行分析，由于選手甲有特殊要求，所以可以先將甲的位置選定下來，再排剩余的5位選手的位置；亦可從位置進行分析，先從除甲以外的5個人當(dāng)中選2人安排到第一個和最后一個位置，再排剩余的4個位置

6、的人選。 </p><p>　　解法1先排甲，有4種方法，剩余5人全排列有A55=120種，所以不同的演講次序有4×120=480種，故答案選C。 </p><p>　　解法2先從除甲以外的5個人當(dāng)中選2人安排到第一個和最后一個位置，共有A25=20種方法，再將剩余的4人安排到中間4個位置，共有A44=24種方法，所以共有20×24=480種方法，故答案選C。 <

7、/p><p>　　點評特殊位置優(yōu)先法和特殊元素優(yōu)先法是解決排列組合問題最常用、最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素。若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。 </p><p>　　四、相鄰問題捆綁法 </p><p>　　分析將每個家庭的三個人捆在一起看成一個整

8、體，從而9個人看成三個整體，同時考慮三個整體的排列和每個家庭內(nèi)部的排列。 </p><p>　　五、不相鄰問題插空法 </p><p>　　例55名成人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有（） </p><p>　　A.A55?A24種B.A55?A25種 </p><p>　　C.A55?A26種D.A77-4

9、A66種 </p><p>　　分析先排5個大人，再在大人中間的4個空隙中選2個將兩個小孩安排進去。 </p><p>　　解先排5個大人，有A55種排法；再排小孩，有A24種排法（插空法）。故有A24?A55種不同的排法，所以答案選A。 </p><p>　　點評對于互不相鄰問題，先排不受限制的元素，再把要求不相鄰的元素插入這些元素的空間中，從而實現(xiàn)排列目標(biāo)，這種

10、方法就是插空法。它是解決元素不相鄰問題的基本方法。 </p><p>　　六、正難則反間接法 </p><p>　　例6（2012山東省煙臺市二模）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門相同的選法種數(shù)為_____（用數(shù)字作答）。 </p><p>　　分析本題若從正面直接分類較為復(fù)雜，而其反面情況較少，于是可將甲乙兩人所有的選法，減去兩人所

11、選兩門都不同的選法。 </p><p>　　解可先求出所有兩人各選修2門的種數(shù)C24C24=36，再求出兩人所選兩門都不同的種數(shù)均為C24C22=6，故至少有1門相同的選法有36-6=30種。 </p><p>　　點評從正面直接計算不復(fù)雜時就直接進行計算，若直接計算情況較為復(fù)雜時，可以先不考慮題設(shè)條件的限制求出方法數(shù)，再減去不符合條件的方法數(shù)即可求解，這就是間接法。這種思維方法在解題中有

12、著廣泛的應(yīng)用。間接法主要適用于“至少”“至多”“并非”等類型的排列組合問題。 </p><p>　　七、元素相同隔板法 </p><p>　　例7有10個運動員名額，分給某校的高三7個班，每班至少一個名額，則不同的分配方案共有____種。 </p><p>　　分析因為10個名額沒有差別，欲將其分成7份，每份至少一個，可將它們排成一排，形成11個空隙，在中間9個空隙

13、中選出6個插入6塊隔板把它們隔開，即可把名額分成7個部分，對應(yīng)分給7個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法，如下圖所示。 </p><p>　　解從9個空隙中選出6個插入6塊隔板，共有C69=84種選法，故共有84種不同的分配方案。 </p><p>　　點評相同元素的分配問題往往采取隔板法來處理。一般地，將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插入n

14、個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為Cm-1n-1。 </p><p>　　八、順序固定問題作除法 </p><p>　　例8若把組成下列單詞中的每個字母作各種排列，恰好有420種排法的單詞是（） </p><p>　　A.trousersB.successC.streetD.friend </p><p>　　分析因為相同的字母之間

15、的排列與順序無關(guān)，所以可先進行全排，再除以定序元素的全排，就可求出各選項中所含字母的排法。 </p><p>　　解選項A中的排法為：A88A22A22=10 080種；選項B中排法為：A77A22A33=420種；選項C中排法為A66A22A22=180種；選項D中排法為：A77=5 040種。故答案選B。 </p><p>　　點評解決某些元素位置固定的情況的一般思路是：先不考慮元素的

16、限制，求出結(jié)果除以受限制元素的全排列數(shù)。本題中排列時相同字母之間是沒有順序的，可以看成固定順序問題，利用這種相除法避免了分類帶來的麻煩。 </p><p>　　九、多排問題單排法 </p><p>　　例98人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少種不同的排法？ </p><p>　　分析原題可以轉(zhuǎn)化為8個人排成一排，其中甲乙必須排在前4個位置中

17、，而丙必須排在后4個位置中。 </p><p>　　解8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先排前4個位置的特殊元素甲乙有A24種，再排后4個位置上的特殊元素丙有A14種，其余的5人在5個位置上任意排列有A55種，則共有A24A14A55種。 </p><p>　　點評一般地，若把n個元素排成m排排列（n，m為正整數(shù)），可把每排首尾排成一排，對應(yīng)每排的特殊要求，再分段考