“錯(cuò)位相減法”并非“等差乘等比型”數(shù)列求和的唯一方法

1、“錯(cuò)位相減法”并非“等差乘等比型”數(shù)列求和的唯一方法——具有突破觀念性的創(chuàng)新型解法具有突破觀念性的創(chuàng)新型解法—裂項(xiàng)求和裂項(xiàng)求和內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾市奮斗中學(xué)斗中學(xué)0504班陳一帆一帆指導(dǎo)老師：李國梅：李國梅一、問題的提出一、問題的提出我們都知道，高一課本第一冊（上）在推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式n1(1)1nnaqSq???的過程中運(yùn)用了著名的“錯(cuò)位相減法”，隨即在書中的第137頁復(fù)習(xí)參考題三B(1)q?組中出現(xiàn)了運(yùn)用該方法

2、來解決的求和問題：6、……。2123Sxx????1nnx??這類數(shù)列的主要特征是：已知數(shù)列滿足其中等差，等比且nCnnnCab??nanb公比不等于1，老師們形象地稱這類數(shù)列為“等差乘等比型”數(shù)列。求這類數(shù)列nC前項(xiàng)的和時(shí)通常在和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將得n到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法即所謂的“錯(cuò)位相減法”。而且近年來的各地乃至全國高考的試卷中頻頻出現(xiàn)此類型的數(shù)列的求和問題，

3、解法當(dāng)然是不變的“錯(cuò)位相減法”，而且老師在平時(shí)的講題中也一再強(qiáng)調(diào)該類型的前項(xiàng)n和只能用錯(cuò)位相減法來解決，似乎成了“自古華山一條道”的絕法。難道真的沒有其他的解決方法了嗎？這的確沒有讓我墨守成規(guī)，反而激起了我無限的探索欲。二、特例解決帶來的啟發(fā)二、特例解決帶來的啟發(fā)當(dāng)時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)可變形為=1q?na11nnaaq??na11111()11nnnaqaqqqqq????????于是前項(xiàng)和…]=n1121[(1)()1naSqqqq????

4、??1()nnqq??1(1)1naqq??受到上面變形的啟發(fā)，我想既然等比數(shù)列的通項(xiàng)可以裂成兩項(xiàng)的差的形式，那么公比不為1的“等差乘等比型”數(shù)列的通項(xiàng)如果也能裂成類似的形式，那么讓我苦思冥想的那個(gè)求和方法不就神奇的找到了嗎？在此之前，我們老師還一再強(qiáng)調(diào)此類數(shù)列的求和不能用裂項(xiàng)相消，如果這一設(shè)想成功的話，算不算是觀念和方法上的一次突破。3三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例下面就利用上述所得裂項(xiàng)公式求幾例等差乘等比型數(shù)列前項(xiàng)和。n例1.求…2132

5、2nS???212nn?解：設(shè)，則，，1(21)2nnCn??11a?2d?112b?12q?由裂項(xiàng)公式112211226111(1)1(1)22aqxdqq??????????0241112ddq?????10(1)6(41)nxxndn??????164nxn???于是可裂為nC11nnnnnCxbxb????=111[64(1)](64)22nnnn?????==nS1111nnxbxb???3232nn??例2.(2003年北京