縱向數(shù)據(jù)中線性混合模型的估計與檢驗.pdf

1、在對社會學(xué),生物學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)以及農(nóng)業(yè)等學(xué)科的連續(xù)性縱向數(shù)據(jù)研究時,線性混合效應(yīng)模型是很受歡迎的研究工具。這是因為模型中隨機(jī)效應(yīng)和誤差的分布往往假設(shè)為正態(tài)分布,這樣我們就可以很方便的使用極大似然估計方法(MLE)或者限制極大似然估計方法(RMLE)來研究模型中的參數(shù)性質(zhì)。特別地,人們可以使用SAS,R等統(tǒng)計軟件直接分析數(shù)據(jù)。然而,隨著對線性混合模型研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)實際數(shù)據(jù)中正態(tài)性假設(shè)并不完全成立,特別是隨機(jī)效應(yīng)的正態(tài)性假設(shè)更值得懷疑。如

2、何檢驗?zāi)Ｐ椭械姆植嫉恼龖B(tài)性,以及拒絕正態(tài)性假設(shè)后,如何估計模型參數(shù),研究隨機(jī)效應(yīng)和誤差的局部性質(zhì)是本文要研究的問題。在論文的第一部分,我們將研究線性混合效應(yīng)模型中隨機(jī)效應(yīng)的正態(tài)性假設(shè)。在文獻(xiàn)中,基于經(jīng)驗特征函數(shù),Epps＆Pulley(1983)提出了對一維隨機(jī)變量的正態(tài)性假設(shè)的擬和檢驗,Baringhaus＆Henze(1988)解決了多維隨機(jī)向量的正態(tài)性檢驗問題,與此類似的檢驗被統(tǒng)計學(xué)家統(tǒng)稱為BHEP檢驗。這里,我們推廣Henze&

3、Wanger(1997)提出的BHEP檢驗方法來構(gòu)造我們的檢驗統(tǒng)計量。因為模型中隨機(jī)效應(yīng)是不可觀測的,我們只有使用相應(yīng)的最優(yōu)線性無偏預(yù)測(BLUP)。研究發(fā)現(xiàn),文中的檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)下漸近收斂于一個零均值的高斯過程,并且對以參數(shù)速度收斂到原假設(shè)的被擇分布特別敏銳。因為極限高斯過程不易用來模擬檢驗統(tǒng)計量的臨界值,我們提出了條件蒙特卡洛模擬方法(CMCT)。為了直觀的研究我們的檢驗統(tǒng)計量的功效,我們給出了不同分布假設(shè)下,檢驗的p-值,并與

4、文獻(xiàn)中已有的兩種檢驗方法作了比較。此外,我們還進(jìn)行的了一些實際數(shù)據(jù)分析。經(jīng)過上述檢驗方法分析實際數(shù)據(jù),我們發(fā)現(xiàn)正態(tài)性假設(shè)確實不完全成立。在論文的余下部分,我們來研究非正態(tài)假設(shè)下如何估計模型的未知參數(shù),以及研究隨機(jī)效應(yīng)和誤差的局部性質(zhì),也就是估計它們的一些高階矩,文中我們主要研究了前四階矩的非參數(shù)估計。首先,當(dāng)模型中的隨機(jī)效應(yīng)是一維的并且其協(xié)變量都是1時,我們利用模型的特征構(gòu)造了前四階矩的估計方程,而后給出相應(yīng)的非參數(shù)估計。通過對所有估計

5、的漸近性質(zhì)的研究,我們發(fā)現(xiàn),如果每組實驗的次數(shù)也能足夠多時,我們的估計擁有最小的漸近方差。在這種意義上說,我們的方法優(yōu)于第一個研究此問題的文獻(xiàn)Cox＆Hall(2002)提出的估計方法。此外,在他們的模型下,我們也可以從另一個角度更簡單的構(gòu)造他們的估計方程。通過一些簡單的模擬,也證實了我們的估計方法的優(yōu)越性,特別是對誤差的高階矩的估計。但是,無論我們的估計方法或者他們的都很難推廣到更高階矩的估計或者隨機(jī)效應(yīng)為多維時更一般的情形。正如Ji

6、ang(2006)所說的那樣,對于這種一般的模型,我們很難建立估計方程。為了解決這個問題,我們提出了一個簡單的矩估計方法。主要推導(dǎo)工具是矩陣中Kronecker乘積,矩陣?yán)边\算以及數(shù)學(xué)期望。我們研究了隨機(jī)效應(yīng)和誤差的前四階矩估計的漸近性質(zhì),并給出了簡單的模擬結(jié)果。比較上述兩種估計法,我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)隨機(jī)效應(yīng)是一維的時侯,誤差的各階矩的估計不依賴不可觀測的隨機(jī)效應(yīng),隨機(jī)效應(yīng)的估計也不依賴誤差,因此,估計的漸近方差結(jié)構(gòu)特別簡單也是最優(yōu)的;而當(dāng)

7、隨機(jī)效應(yīng)是多維的,因為隨機(jī)效應(yīng)的協(xié)變量的影響,我們沒有辦法針對隨機(jī)效應(yīng)和誤差的各階矩分別建立估計方程,這導(dǎo)致所得的估計的漸近方差或者協(xié)方差矩陣特別復(fù)雜,從而估計的效果不是很好。因此,我們提出了正交的矩估計方法。我們知道,對任意一個矩陣A,只要它不是行滿秩的就會存在正交矩陣B使得BA=0。例如,人們經(jīng)常使用的QR分解方法找到正交矩陣B,更直接地,B可以取為矩陣A的正交投影矩陣。利用矩陣的這個性質(zhì),我們首先把模型中隨機(jī)效應(yīng)部分去掉,根據(jù)得到