向量空間

1、第9講 向量及其線性運(yùn)算,主要內(nèi)容：1. 向量的概念2. 向量的線性運(yùn)算,第3章 向量空間,向量也是重要的數(shù)學(xué)工具之一(中學(xué)). (重點(diǎn)從線性方程組, 矩陣轉(zhuǎn)移到向量.)借助于線性方程組可以討論向量的有關(guān)內(nèi)容,而有了向量知識后又可以更深入地討論線性方程組的解與解之間的關(guān)系. 實(shí)際上,向量空間的理論起源于對線性方程組解的研究. 同時(shí),向量與矩陣之間有聯(lián)系也有區(qū)別.,3.1 向量及其線性運(yùn)算,所謂向量空間,就是在向量之間定義了向

2、量的線性運(yùn)算所構(gòu)成的一種代數(shù),又稱為向量代數(shù).3.1.1 向量的概念既有大小又有方向的量稱為向量.,通常用一條有向線段表示向量,有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向. 表示向量時(shí),用黑體及斜體的英文字母a, b, c, 或 , 或希臘字母?, ?, ?, ?等(或帶小標(biāo)). 只討論與起點(diǎn)無關(guān)的向量. 當(dāng)建立了平面坐標(biāo)系以后,該平面內(nèi)的向量的起點(diǎn)可以認(rèn)為均在平面坐標(biāo)原點(diǎn),于是可以用

3、該向量的終點(diǎn)坐標(biāo)表示該向量,見圖3.1(平面向量). 在空間坐標(biāo)系中有類似處理,見圖3.2 (空間向量).,在空間向量(x, y, z)中，它是x, y, z按一定順序的一個(gè)排列,分別表示該向量終點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).,,,,,,,,,,,,,五門課程英語、線代、計(jì)導(dǎo)、高數(shù)、電路分析的考試成績可以按順序排成(92, 87, 45, 98, 76).對裝配完成的汽車要進(jìn)行制動距離、最高車速、百公里耗油、滑行距離、廢氣排放量等六項(xiàng)指

4、標(biāo)的測試, 測試結(jié)果(a1, a2, a3, a4, a5, a6).實(shí)際上,對于含n個(gè)未知量x1, x2, …, xn的n元線性方程組, 其一個(gè)解可以按x1, x2, …, xn的順序依次表示出來.,Def 3.1 將m個(gè)數(shù)a1, a2, …, am按一定順序排列所得到的數(shù)列稱為m維向量, 表示為 其中ai稱為是該向量的第i個(gè)分量或坐標(biāo).,當(dāng)m = 1, 2, 3時(shí)，m維向量都有較直觀的幾何背景,分別表示起點(diǎn)在原點(diǎn)的數(shù)

5、軸、平面和空間上的向量,這是學(xué)習(xí)向量時(shí)的一個(gè)優(yōu)勢. 當(dāng)m≥4時(shí),m維向量沒有直觀的幾何解釋.向量可稱為矢量. 如果將m個(gè)任意元素，不一定是數(shù),按一定順序排列所得到的數(shù)組, 就是m元組的概念,它在計(jì)算機(jī)科學(xué)中更是經(jīng)常用到,向量與矩陣.不過看作矩陣它們是不相同的,但作為向量這兩種表示方式是相同的. 行向量和列向量. m×n 矩陣可以得到m個(gè)行向量和n個(gè)列向量.,每個(gè)分量均為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量(real vector)

6、,每個(gè)分量均為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量(complex vector). 所有m維實(shí)向量組成的集合用Rm表示,其中R表示實(shí)數(shù)集合. 在今后的討論中,若無特別說明,所涉及的向量為實(shí)向量.,線性方程組Ax = b的一個(gè)解,寫成是線性方程組的一個(gè)解向量(solution vector).,先介紹三個(gè)概念.1. 兩個(gè)m維向量相等當(dāng)且僅當(dāng)其對應(yīng)的分量分別相等, 即 兩個(gè)維數(shù)不同的向量一定不等.,2. 分量全為0的m維向量稱為m

7、維零向量(zero vector),記為黑體0. 當(dāng)然有不同的零向量,并注意實(shí)數(shù)0與向量0的區(qū)別.3. 負(fù)向量,3.1.2 向量的線性運(yùn)算1、向量的加法運(yùn)算在中學(xué)里,兩個(gè)向量α和β可以使用三角形法則或平行四邊形法則相加,這是早在公元前350年左右Aristotle就知道了.,,,,,,,,,當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，將向量α可表示為(a1, a2, a3)T，向量β可表示為(b1, b2, b3)T時(shí)，很容易知道α+β = (a1

8、+ b1, a2 + b2, a3 + b3) T. 一般地, 兩個(gè)向量α和β之和定義如下. Def 3.2,向量加法運(yùn)算的性質(zhì). ?, ?, ? ? Rm:(1) ? +? = ? + ?. (加法交換律)(2) (? +?) + ? = ? + (? + ?).(加法結(jié)合律)(3) ? + 0 = ?. (加法單位元)(4) ? + (- ?) = 0 .(加法逆元),為了方便，將? + (-?) 記為? - ?，稱為向量

9、?和?的差(subtraction of ? and ?)，它是向量的減法運(yùn)算. 兩個(gè)向量相減就是對應(yīng)的分量分別相減.,2、向量的數(shù)乘運(yùn)算向量?和數(shù)?的數(shù)乘是一個(gè)向量，其大小為| ? |與向量?的大小乘積，其方向當(dāng)? > 0 時(shí)與?相同，當(dāng)? < 0 時(shí)與?相反，當(dāng)? = 0 時(shí)是零向量，這時(shí)其方向可以是任意的. 在空間直角坐標(biāo)系下:,Def 3.3例如:,對于任意向量? ，有-1? = - ? ， 0? =

10、0且對于任意?, ??Rm, ??R，有(5) 1? = ? .(6) (??)? = ? (??). (7) (? + ?)? = ?? + ??. (8) ? (? + ?) = ?? + ??. 上面的向量的線性運(yùn)算性質(zhì)(1)—(8)是按線性空間所滿足的條件列舉的，參見3.6節(jié)定義3.13.,例3.1 設(shè)計(jì)算Solution,由于? + ? = ? + ?及? + (- ?) = 0，所以在進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)