第三章-微分中值定理與導數(shù)的應用習題詳解wang1

1、1第三章微分中值定理與導數(shù)的應用習題311.解：（1）雖然在上連續(xù)，，且在內(nèi)可導?？梢?，()fx[11]?(1)(1)ff??()fx(11)?在上滿足羅爾中值定理的條件，因此，必存在一點，使得()fx[11]??(11)??()0f???，即：，滿足，；22120(21)?????0??（2）雖然在上連續(xù)，，但在內(nèi)點不可導。可()fx[11]?(1)(1)ff??()fx(11)?0x?見，在上不滿足羅爾中值定理的條件，且因此不存()

2、fx[11]?101()=0110xfxxx???????????不存在在一點，使得.?(11)??()0f???2.因為函數(shù)是一初等函數(shù)，易驗證滿足條件.3解：令，，化簡得33arccosarccos(34)yxxx???2232331211(34)xyxxx????????（為常數(shù)），又，故當，有。0Cyy????C(0.5)y??0.50.5x???()yx??4證明：顯然都滿足在上連續(xù)，在內(nèi)可導()()fxFx02???????

3、02???????且對任一，，滿足柯西()cos()1sinfxxFxx?????02x????????()0Fx??()()fxFx?中值定理條件。，而，(0)121(0)22ffFF???????????????????sincos()cos242()1sin1cossin242xxfxxxFxxx???????????????????????????????????????令，即，此時顯然()1()12fxFx?????tan14

4、22x???????????2arctan142x?????????????????，即，使得02x????????2arctan10422???????????????????????????3，使得：，即，矛盾，假設不成立，所以方程12()xx???()0f???4510???只有一個正根。510xx???9證明：（1）因為在上可導，所以由拉格朗日中值定理知：存在使()fx[]ab()ab??得()()()()fbfafba????

5、?又，故，即。()fm???()()()fbfamba???()()()fbfamba???（2）因為在上可導，所以由拉格朗日中值定理知：存在使得()fx[]ab()ab??()()()()fbfabaf?????又，所以。()fM???|()()|M()fbfaba???（3）當時結論顯然成立，當時，對函數(shù)在以為端點的區(qū)間上應用12xx?12xx?sinx12xx拉格朗日中值定理，得，其中在與之間，因此1212sinsincos()x

6、xxx??????1x2x。121212sinsincosxxxxxx??????10證明：因為在內(nèi)具有二階導數(shù)，所以由羅爾定理，得，()fx()ab112()xx???，使得，又在且滿足羅爾定理的條件，故223()xx???12()()0ff??????()fx????12??由羅爾定理，得：，使得。1213()()xx??????()0f????11證明：設，由拉格朗日中值定理，得()lnfxx?，使得：即：，又，()ba???()