時滯微分方程的穩(wěn)定性和Hopf分岔分析.pdf

1、時滯微分方程一種十分常見且與日常生活密切相關的動力系統(tǒng)。研究時滯微分方程對我們能更好地發(fā)展社會有非常重要的作用。在近年來，時滯微分方程已經(jīng)是研究者研究的一個重要課題，同時越來越多的學者開始關注時滯微分方程這一領域。非線性微分方程，存在著由非線性產(chǎn)生的不穩(wěn)定性問題，使得微分方程的動力學特性具有復雜的運動方式?？紤]到系統(tǒng)反映滯后由此而引入的時滯，進一步使得微分方程的研究越來越復雜。有時候考慮到不同因數(shù)的影響還要給系統(tǒng)加入效應方程，這樣系統(tǒng)將

2、更加復雜，進而需要探究帶有時滯和效應方程的一些新的適合系統(tǒng)的理論方法，去分析它的穩(wěn)定性、分岔、分岔周期方向等動力學性質。因此，在理論研究上與常微分方程相比帶時滯微分方程具有更大的難度。
　　本文首先對帶有兩個時滯的系統(tǒng)進行分析。描述新系統(tǒng)與原系統(tǒng)的區(qū)別，計算得到非負平衡點存在的條件，結合雅克比矩陣的特征方程的知識討論其非負平衡點的局部漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性，求證Hopf分岔的存在性，并結合數(shù)學計算推導出Hopf分岔點。根據(jù)中心流形定

3、理和規(guī)范性理論，將二者進行結合可進一步求出Hopf分岔的方向、運動軌道的周期和周期隨時滯的變化性。要對上面求解，首先要利用泰勒公式展開式將描述的系統(tǒng)展開，從而得到線性部分和非線性部分的相關系數(shù)表達式。其次是運用相關知識對決定Hopf分岔的方向、運動軌道的周期的表達式進行求解，對時滯系統(tǒng)在滿足推出的條件下進行數(shù)值仿真。根據(jù)仿真所得到系統(tǒng)的時間歷程圖和相圖我們可以觀察到，在不同條件下參數(shù)變化改變了系統(tǒng)的運動特性。當時滯不斷增大時系統(tǒng)的平衡點

4、漸近穩(wěn)定性轉化為不穩(wěn)定，并在某一點發(fā)生了Hopf分岔。結合所推出的理論說明時滯能改變微分方程的動力學特性。
　　接著，在原系統(tǒng)基礎上給其加入時滯，是第二個時滯微分方程。利用相同的理論方法，討論平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分岔，及求出分岔點，利用泰勒公式展開式、中心流形定理和規(guī)范化理論可以得到分岔點的Hopf分岔的方向、運動軌道的周期和周期隨時滯的變化性。
　　最后，將原系統(tǒng)進行變化，給其多加入一個時滯。我們得到新的系統(tǒng)，這就是下