巧用圓系方程 簡(jiǎn)化解題過(guò)程

1、巧用圓系方程簡(jiǎn)化解題過(guò)程四川省眉山中學(xué)校謝維勇在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個(gè)圓系，一個(gè)圓系所具有的共同形式的方程稱(chēng)為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：⑴以為圓心的同心圓系方程⑵過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程⑶過(guò)兩圓和圓的交點(diǎn)的圓系方程此圓系方程中不包含圓，直接應(yīng)用該圓系方程，必須檢驗(yàn)圓是否滿足題意，謹(jǐn)防漏解。當(dāng)時(shí)，得到兩圓公共弦所在直線方程為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過(guò)圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程在遇

2、到過(guò)直線與圓，圓與圓交點(diǎn)的圓有關(guān)問(wèn)題時(shí)，靈活選取上述各種圓系方程，可簡(jiǎn)化繁雜的解題過(guò)程?，F(xiàn)不妨舉兩例簡(jiǎn)要說(shuō)明。例1：已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。解：過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，

3、即………………….①依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程①，則故例2：求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。分析：本題若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。自然選用過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡(jiǎn)便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求過(guò)兩圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問(wèn)題。解：圓和的公共弦方程為，即過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即