復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)資料

1、(一)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念1.1.復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念：，是實(shí)數(shù)..zxiy??xy????ReImxzyz??21i??注：一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實(shí)數(shù)）有大小.①兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部與虛部分別相等。②一個(gè)復(fù)數(shù)等于零，當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部與虛部同時(shí)等于零。③稱復(fù)數(shù)xiy和xiy互為共軛復(fù)數(shù)。2.2.復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)的表示1）模：）模：；22zxy??2）幅角）幅角：在時(shí)，矢量與軸正向的夾角，記為（多值0z?x??Arg

2、z函數(shù)）；主值是位于中的幅角。（有無(wú)窮個(gè)值，??argz???20??Argz是復(fù)數(shù)z的輻角的主值=2kπ??argz??Argz??argz3）與之間的關(guān)系如下：??argzarctanyx當(dāng)；0x?argarctanyzx?當(dāng)；0argarctan00argarctanyyzxxyyzx????????????????4）三角表示）三角表示：，其中；注：中間一定是)sin(cosz??ir??)(rzgA??“”號(hào)。（r=|z|）5

3、）指數(shù)表示）指數(shù)表示：，其中。?ire?z)(rzgA??(二)復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.1.加減法加減法：若，則111222zxiyzxiy????????121212zzxxiyy?????2.2.乘除法乘除法：2⑵對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)：（多值函數(shù)）；i2lnnπkzzL??(012)k????主值：。（單值函ln(arg2)Lnzzizk????(012)k????lnlnargzziz??數(shù)）的每一個(gè)主值分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)處處解Ln

4、zlnzz析，且；??1lnzz??注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不同）3）乘冪與冪函數(shù)）乘冪與冪函數(shù)：Lnze???z4）三角函數(shù)）三角函數(shù)：sincossincost22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizz????????在平面內(nèi)解析，且sincoszzz????sincoscossinzzzz?????注：有界性不再成立；（與實(shí)函數(shù)不同）sin1cos1zz??雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)；22zzzzeeees

5、hzchz??????奇函數(shù)，是偶函數(shù)。在平面內(nèi)解析，且shzchzshzchzz。????shzchzchzshz????導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）點(diǎn)可導(dǎo)：）點(diǎn)可導(dǎo)：=；??0fz?????000limzfzzfzz??????2）區(qū)域可導(dǎo)區(qū)域可導(dǎo)：在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。??fz2解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念1）點(diǎn)解析：在及其的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱在點(diǎn)解析；??fz0z0z??fz0z2）區(qū)域解析：在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析，稱在區(qū)域內(nèi)