光滑度量空間上的幾何與分析.pdf

1、我們分四部分介紹.第一部分為Obata定理及其推廣，第二部分為warped乘積空間中的自相似解以及加權(quán)的Minkowski不等式，第三部分為Bakry-Emery瑞奇曲率的單調(diào)性公式，第四部分為梯度瑞奇孤立子.
　?、?Obata定理及其推廣
　　我們考慮推廣的Obata方程:▽dw+f(w)g=0.(1)如果假設(shè)w有至少一個(gè)臨界點(diǎn)，我們有下面的定理.
　　定理0.1.設(shè)(Mn，g)，n≥2是一完備的黎曼流形，且存在非

2、常數(shù)的光滑解w滿足推廣的Obata方程(1)，其中f(s)是一光滑函數(shù).設(shè)w有至少一個(gè)臨界點(diǎn)，那么M微分同胚于Rn或Sn.另外，(M，g)等距于Mf，μ，其中μ=w（p）.
　　如果給f加一些條件，事實(shí)上沒(méi)有必要假設(shè)w有臨界點(diǎn).
　　定理0.2.設(shè)(M，g)是一光滑的完備黎曼流形，其中n≥2，且存在非常數(shù)的光滑解滿足推廣的Obata方程(1),其中f是強(qiáng)制的，那么M=Mf，μ對(duì)某個(gè)μ.特別地,M微分同胚于Sn或Rn.

3、　　定理0.3.設(shè)(M，g)是一光滑的完備黎曼流形，其中n≥2，且存在非常數(shù)的光滑解滿足推廣的Obata方程(1),其中f退化強(qiáng)制的，那么M微分同胚于Rn.如果n≥2，那么(M，g)等距于Mf，μ對(duì)某個(gè)μ.
　　定理0.4.設(shè)（M，g）是一光滑的完備黎曼流形，其中n≥2，且存在非常數(shù)的光滑解滿足推廣的Obata方程(1),其中f非退化強(qiáng)制的，那么M微分同胚于Sn.如果n≥2，那么(M，g)等距于Mf，μ對(duì)某個(gè)μ.
　　如果存

4、在非常數(shù)的光滑解w滿足推廣的Obata方程(1)，那么(M，g)具有warped乘積結(jié)構(gòu).
　　定理0.5.w為（M，g）上非常數(shù)的光滑解且滿足推廣的Obata方程(1).令I(lǐng)表示w的像Iw的內(nèi)部.取μ∈I，令N=w-1(μ），Ω=w-1(I).那么（N，gN）是連通的完備流形，并且存在微分同胚F:I×N→Ω使得對(duì)所有(s，p)滿足w(F(s，p))=s.拉回度量F*g是warped乘積度量且由(2.40)給出.另外，M=(Ω)且

5、(a)Ω至多包含兩個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)是w的最大值點(diǎn)或者最小值點(diǎn).
　　相反地，如果(N，gN)是一黎曼流形，h(s)是區(qū)間I上的光滑正函數(shù)，那么在I×N上w=s滿足推廣的Obata方程，其中f=-1/2h'，且I×N賦予度量h-1ds2+h/α2gN.
　　下面我們考慮Obata方程的雙曲版本，▽dw-wg=0.(2)令Wh(M，g)表示方程(2)的解空間.
　　定理0.6.設(shè)（Mn，g）是一完備的黎曼流形，其中n≥2.令W

6、h=Wh(M，g).那么dim Wh≥n當(dāng)且僅當(dāng)(M，g)等距于Hn.因此，如果dim Wh≥n，那么dim Wh=n+1.
　　定理0.7.設(shè)(Mn，g)是一完備的黎曼流形，其中n≥2.令Wh=Wh(M，g).那么dim Wh=n-1當(dāng)且僅當(dāng)（M，g）具有常截面曲率-1且微分同胚于Rn-1×S1(等價(jià)地，π1(M)=Z).精確的講，dim Wh=n-1當(dāng)且僅當(dāng)(M，g)等距于Hn-1cosh(S1(ρ))或Hn-2cosh(He

7、xp(S1(ρ）））對(duì)某個(gè)ρ＞0.(前面的包含一條閉的測(cè)地線而后面的沒(méi)有.）
　　下面的定理給出了解空間Wh(Mn，g)為一般維數(shù)時(shí)(Mn，g)的刻畫.
　　定理0.8.設(shè)(Mn，g)為一完備的黎曼流形.設(shè)1≤k≤n-1，那么dim Wh(M，g)≥k當(dāng)且僅當(dāng)M等距于Hkcosh(N，gN)或Hk-1cosh(Hexp(N，gN)）其中（N，gN）是一n-k維的完備黎曼流形.
　　如果(M，g)為非完備的，我們也有類似

8、的定理.
　　引理0.9.如果M是Sn中的開(kāi)區(qū)域，那么dim Ws(M，g)=n+1.
　　定理0.10.令(M，g)為Sn中一連通的黎曼流形.那么dim Ws(M，g)≥n當(dāng)且僅當(dāng)(M，g)等距于Sn中的一開(kāi)區(qū)域.
　　引理0.11.Wh(Hn，g)=span{x1，x2，…，xn，xn+1}.
　　定理0.12.設(shè)(M，g)為Hn中一連通的黎曼流形.那么dim Wh(M，g)≥n當(dāng)且僅當(dāng)(M，g)等距于Hn中

9、一開(kāi)區(qū)域.
　　Ⅱ.Warped乘積空間中的自相似解以及加權(quán)的Minkowski不等式
　　設(shè)∑是Rn中一閉的嵌入可定向光滑曲面.自相似方程定義如下:H=，(3)這里v是∑的單位外法向，H是平均曲率，X是位置向量.
　　如果我們將歐氏度量寫為g=dr(×) dr+r2gSn-1，那么X=r(a)/(a)r.
　　這里我們考慮流形M=N×[0，a）并賦予如下度量，(g)=dr(×)dr+φ(r)2gN.(

10、4)同樣我們假設(shè)∑是M中一閉的嵌入可定向光滑曲面.類似于(3)，形式地我們定義自相似方程為H=，這里X=φ(r)(a)/(a)r，v是∑的單位外法向，H是平均曲率.
　　下面是我們關(guān)于自相似解的結(jié)果.
　　定理0.13.設(shè)∑是M中一光滑的超曲面，設(shè)它的平均曲率為正且滿足H=.如果外圍空間M有非負(fù)的截面曲率且(R)（ei，ej，ek，v）=0，這里ei，ej，ek是∑的單位切標(biāo)架，v是∑的單位外法標(biāo)架，那么

11、▽A≡0，i.e.∑的第二基本型是平行的.
　　我們考慮warped乘積空間（M，(g)）且賦予測(cè)度(dvol)=e-fdvol((g))，這里(g)如(3.3)給出.這里我們選擇特殊的f滿足(▽)2f=φ'g，i.e.f(r)=∫r0φ(s)ds.
　　我們假設(shè)φ滿足下面的條件.
　　（H1）φ(r)=r·ξ(r2)，這里ξ:[0，a）→R是一光滑正函數(shù)且滿足ξ(0)=1.
　?。℉2）對(duì)所有的r∈(0，a)，

12、有φ'（r）＞0
　　(H3)函數(shù)2φ"(r)/φ(r)-(n-2)1-φ'(r)2/φ(r)2是非遞減的.
　　(H4)φ'(r)2≥φ(r)φ"(r).
　　我們得到下面加權(quán)的不等式.
　　定理0.14.設(shè)M是一warped乘積流形且滿足(H1)-(H4)，設(shè)∑是一閉的星形超曲面且滿足Hf＞0.那么我們有下面的不等式，(n-1)∫∑φ'/Hfe-fdv≥n∫Ωφ'e-n/n-1fdvol，這里Ω是∑所包圍的區(qū)

13、域.
　?、?單調(diào)性公式
　　關(guān)于測(cè)度e-f dvol，自伴隨的f拉普拉斯為△f=△-▽f·▽.考慮f拉普拉斯的正的格林函數(shù)G(x0，·)（見(jiàn)定義4.6）.對(duì)任意實(shí)數(shù)k＞2，令b=G1/2-k.對(duì)β，l，p∈R，適當(dāng)?shù)腷，我們考慮Aβf(r)=r1-l∫b=r|▽b|β+1e-f，Vβ,pf(r)=rp-l∫b≤r|▽b|2+β/bpe-f.r＞0時(shí)Aβf(r)是良好定義的， Vβ,pf,p(r)是良好定義的如果C(n，k，

14、p)=（n-2）（k-p）-β（k-n）＞0.(5)證明的細(xì)節(jié)見(jiàn)引理4.9.如果k=l=n，β=2，p=0，這些約化為[23]中的A(r)，V(r).如果k=l=n，p=2，這些是[26]中的Aβ，Vβ.
　　首先我們得到b的梯度估計(jì).
　　命題0.15.如果光滑的度量測(cè)度空間(Mn，g，e-fdvol)(n≥3)滿足RicNf≥0，那么對(duì)k=n+N，存在r0＞0，使得在M\B(x0，r0)上，|▽b(y)|≤C(n，N，r

15、0).(6)
　　如果RicNf≥0，我們得到關(guān)于A和V的線性組合的單調(diào)性公式.
　　定理0.16.如果Mn（n≥3）滿足RicNf≥0，那么，對(duì)k≥n+N，k≤l≤2k-2，α=3k-p-l-2并且C(n，k，p)＞0，(Aβf-αVβ,pf)'(r)≥rp-1-l∫b≤rβ|▽b|β-2/4bp{|Hessb2-△b2/ngb|2+4(β-2)b2|▽|▽b||2}e-f.(7)所以如果β≥2，那么Aβf-αVβ,pf關(guān)

16、于r是非遞減的.
　　如果RicNf≥0，我們得到關(guān)于A的單調(diào)性公式.
　　定理0.17.如果Mn(n≥3）滿足RicNf≥0，那么對(duì)β≥2，k=l=n+N，有(Aβf)'(r)≤0，（Vβ,pf）'(r)≤0對(duì)p＜n+N-βN/n-2.事實(shí)上(Aβf)'（r）≤-β/4rk-3∫b≥rb2-2k|▽b|β-2| Hess2-△b2/ng|2e-f.(8)如果Ricf≥0，我們得到關(guān)于A以及A和V的線性組合的單調(diào)性公式.

17、r>　　定理0.18.如果Mn（n≥4）滿足Ricf≥0，那么對(duì)β=2，p=0，k≥12，l=3/2k-1，我們有(Aβf-(3/2k-1)Vβ,pf）'(r)≥0;對(duì)β=2，k≥12，l=3/2k-1），r2≥r1＞0，我們有(Aβf)'(r2)≥(Aβf)'(r1).
　?、?梯度瑞奇孤立子
　　首先我們給出一個(gè)有用的引理，它用于證明下面的曲率界.
　　引理0.19.假設(shè)(Mn，g(t))是瑞奇流的古代解.假設(shè)對(duì)任

18、意的時(shí)間t≤0黎曼流形(Mn，g(t))是完備的，并且它的截面曲率非負(fù).令V(t)為(Mn，g(t))的漸近體積比，那么V(t)關(guān)于t是非遞減的.
　　下面我們得到滿足某些條件的Ricci flow的曲率界.
　　引理0.20.設(shè)(M，g(t))是一瑞奇流的永恒解，并且它的復(fù)截面曲率非負(fù)，假設(shè)(M，g(0))有歐氏體積增長(zhǎng)，那么存在一致的常數(shù)C，對(duì)任意的（p，t）∈M×(0，∞)，有R(p，t)≤C/t.(9)
　　作